Номер 22.6, страница 99 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.6. Вычислите, используя свойства квадратных корней:

a) $\sqrt{36 \cdot 169} + \sqrt{\frac{36}{169}}$;

б) $\sqrt{\frac{25}{121}} - \sqrt{25 \cdot 121}$.

а) Для вычисления выражения $\sqrt{36 \cdot 169} + \sqrt{\frac{36}{169}}$ воспользуемся свойствами квадратных корней.

1. Свойство корня из произведения: для неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Применим это свойство к первому слагаемому:
$\sqrt{36 \cdot 169} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{169}$
Поскольку $6^2 = 36$ и $13^2 = 169$, то $\sqrt{36} = 6$ и $\sqrt{169} = 13$.
$\sqrt{36} \cdot \sqrt{169} = 6 \cdot 13 = 78$.

2. Свойство корня из частного (дроби): для неотрицательного $a$ и положительного $b$ справедливо равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Применим это свойство ко второму слагаемому:
$\sqrt{\frac{36}{169}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{169}} = \frac{6}{13}$.

3. Сложим полученные результаты:
$78 + \frac{6}{13} = 78\frac{6}{13}$.
Ответ: $78\frac{6}{13}$.

б) Для вычисления выражения $\sqrt{\frac{25}{121}} - \sqrt{25 \cdot 121}$ воспользуемся теми же свойствами квадратных корней.

1. Применим свойство корня из частного к первому члену выражения (уменьшаемому):
$\sqrt{\frac{25}{121}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{121}}$
Поскольку $5^2 = 25$ и $11^2 = 121$, то $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{121} = 11$.
$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{121}} = \frac{5}{11}$.

2. Применим свойство корня из произведения ко второму члену выражения (вычитаемому):
$\sqrt{25 \cdot 121} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{121} = 5 \cdot 11 = 55$.

3. Выполним вычитание:
$\frac{5}{11} - 55$
Чтобы вычесть из дроби целое число, представим его в виде дроби с тем же знаменателем:
$55 = \frac{55 \cdot 11}{11} = \frac{605}{11}$
$\frac{5}{11} - \frac{605}{11} = \frac{5 - 605}{11} = -\frac{600}{11}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$-\frac{600}{11} = -54\frac{6}{11}$.
Ответ: $-54\frac{6}{11}$.