Номер 22.11, страница 100 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.11. Вычислите:

а) $\sqrt{\frac{5}{13}} \cdot \sqrt{\frac{13}{45}};$

б) $\sqrt{1 \frac{2}{3}} \cdot \sqrt{2,4};$

в) $\sqrt{3,5} \cdot \sqrt{1 \frac{1}{7}};$

г) $\sqrt{3,2} \cdot \sqrt{1,25};$

д) $\sqrt{\frac{2}{3}} : \sqrt{\frac{3}{8}};$

е) $\sqrt{3 \frac{1}{3}} : \sqrt{\frac{5}{6}};$

ж) $\sqrt{1 \frac{1}{16}} : \sqrt{\frac{17}{25}};$

з) $\sqrt{1 \frac{4}{9}} : \sqrt{\frac{13}{16}};$

и) $\sqrt{1,25} : \sqrt{\frac{64}{125}}.$

а) Для вычисления произведения квадратных корней используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{\frac{5}{13}} \cdot \sqrt{\frac{13}{45}} = \sqrt{\frac{5}{13} \cdot \frac{13}{45}}$
Умножим дроби под корнем, предварительно сократив их:
$\sqrt{\frac{5 \cdot 13}{13 \cdot 45}} = \sqrt{\frac{5}{45}}$
Сократим полученную дробь на 5:
$\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби.
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
$2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$
Теперь подставим дроби в выражение и применим свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:
$\sqrt{1\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{2,4} = \sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{\frac{12}{5}} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{12}{5}}$
Умножим подкоренные выражения, сократив одинаковые множители:
$\sqrt{\frac{5 \cdot 12}{3 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$
Ответ: 2.

в) Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби.
$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$
$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$
Применим свойство произведения корней:
$\sqrt{3,5} \cdot \sqrt{1\frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{7}{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{7}} = \sqrt{\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{7}}$
Сократим и вычислим:
$\sqrt{\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$
Ответ: 2.

г) Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.
$3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$
$1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$
Применим свойство произведения корней:
$\sqrt{3,2} \cdot \sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{16}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{16}{5} \cdot \frac{5}{4}}$
Сократим и вычислим:
$\sqrt{\frac{16 \cdot 5}{5 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2$
Ответ: 2.

д) Для вычисления частного корней используем свойство $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$.
$\sqrt{\frac{2}{3}} : \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{2}{3} : \frac{3}{8}}$
Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь:
$\sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{16}{9}}$
Извлечем корень:
$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$.

е) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$
Применим свойство частного корней:
$\sqrt{3\frac{1}{3}} : \sqrt{\frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{10}{3}} : \sqrt{\frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{10}{3} : \frac{5}{6}}$
Выполним деление дробей под корнем:
$\sqrt{\frac{10}{3} \cdot \frac{6}{5}} = \sqrt{\frac{10 \cdot 6}{3 \cdot 5}} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2$
Ответ: 2.

ж) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}$
Применим свойство частного корней:
$\sqrt{1\frac{1}{16}} : \sqrt{\frac{17}{25}} = \sqrt{\frac{17}{16}} : \sqrt{\frac{17}{25}} = \sqrt{\frac{17}{16} : \frac{17}{25}}$
Выполним деление, умножив на обратную дробь, и сократим:
$\sqrt{\frac{17}{16} \cdot \frac{25}{17}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$
Ответ: $\frac{5}{4}$.

з) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$
Применим свойство частного корней:
$\sqrt{1\frac{4}{9}} : \sqrt{\frac{13}{16}} = \sqrt{\frac{13}{9}} : \sqrt{\frac{13}{16}} = \sqrt{\frac{13}{9} : \frac{13}{16}}$
Выполним деление и сократим:
$\sqrt{\frac{13}{9} \cdot \frac{16}{13}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$.

и) Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:
$1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$
Применим свойство частного корней:
$\sqrt{1,25} : \sqrt{\frac{64}{125}} = \sqrt{\frac{5}{4}} : \sqrt{\frac{64}{125}} = \sqrt{\frac{5}{4} : \frac{64}{125}}$
Выполним деление дробей:
$\sqrt{\frac{5}{4} \cdot \frac{125}{64}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 125}{4 \cdot 64}} = \sqrt{\frac{625}{256}}$
Извлечем корень:
$\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{256}} = \frac{25}{16}$
Ответ: $\frac{25}{16}$.