Номер 22.17, страница 101 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.17. Определите, являются ли взаимно обратными числа:

а) $ \sqrt{7} $ и $ \frac{\sqrt{7}}{7} $;

б) $ 3\sqrt{2} $ и $ \frac{1}{\sqrt{18}} $;

в) $ (\sqrt{5})^3 $ и $ \frac{1}{\sqrt{125}} $;

г) $ (10\sqrt{2})^2 $ и $ \frac{1}{(2\sqrt{5})^2} $.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Чтобы определить, являются ли данные пары чисел взаимно обратными, нужно найти их произведение и проверить, равно ли оно 1.

а) Проверим произведение чисел $ \sqrt{7} $ и $ \frac{\sqrt{7}}{7} $.
$ \sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{(\sqrt{7})^2}{7} = \frac{7}{7} = 1 $
Произведение равно 1, следовательно, числа являются взаимно обратными.
Ответ: да, являются.

б) Проверим произведение чисел $ 3\sqrt{2} $ и $ \frac{1}{\sqrt{18}} $.
Сначала упростим $ \sqrt{18} $.
$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
Теперь найдем произведение:
$ 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{18}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 1 $
Произведение равно 1, следовательно, числа являются взаимно обратными.
Ответ: да, являются.

в) Проверим произведение чисел $ (\sqrt{5})^3 $ и $ \frac{1}{\sqrt{125}} $.
Упростим первое число:
$ (\sqrt{5})^3 = \sqrt{5^3} = \sqrt{125} $
Теперь найдем произведение:
$ \sqrt{125} \cdot \frac{1}{\sqrt{125}} = \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{125}} = 1 $
Произведение равно 1, следовательно, числа являются взаимно обратными.
Ответ: да, являются.

г) Проверим произведение чисел $ (10\sqrt{2})^2 $ и $ \frac{1}{(2\sqrt{5})^2} $.
Упростим первое число:
$ (10\sqrt{2})^2 = 10^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200 $
Упростим второе число:
$ \frac{1}{(2\sqrt{5})^2} = \frac{1}{2^2 \cdot (\sqrt{5})^2} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20} $
Теперь найдем произведение:
$ 200 \cdot \frac{1}{20} = \frac{200}{20} = 10 $
Произведение равно 10, а не 1, следовательно, числа не являются взаимно обратными.
Ответ: нет, не являются.