Номер 22.10, страница 100 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.10. Выполните извлечение квадратного корня:

а) $\sqrt{490 \cdot 10}$;

б) $\sqrt{13 \cdot 1300}$;

в) $\sqrt{810 \cdot 160}$;

г) $\sqrt{80 \cdot 125}$;

д) $\sqrt{75 \cdot 12}$;

е) $\sqrt{0,9 \cdot 8,1}$;

ж) $\sqrt{3,2 \cdot 1,8}$;

з) $\sqrt{14,4 \cdot 22,5}$;

и) $\sqrt{1,69 \cdot 6,25}$.

а) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{490 \cdot 10} $ воспользуемся свойством корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
Сначала преобразуем подкоренное выражение, разложив 490 на множители:
$ \sqrt{490 \cdot 10} = \sqrt{49 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{49 \cdot 10^2} $
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$ \sqrt{49 \cdot 10^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{10^2} = 7 \cdot 10 = 70 $
Ответ: 70

б) Для вычисления $ \sqrt{13 \cdot 1300} $ представим число 1300 в виде произведения $ 13 \cdot 100 $.
$ \sqrt{13 \cdot 1300} = \sqrt{13 \cdot 13 \cdot 100} = \sqrt{13^2 \cdot 10^2} $
Используя свойство корня из произведения, получаем:
$ \sqrt{13^2 \cdot 10^2} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{10^2} = 13 \cdot 10 = 130 $
Ответ: 130

в) Для вычисления $ \sqrt{810 \cdot 160} $ разложим множители под корнем на удобные для извлечения корня части:
$ 810 = 81 \cdot 10 $
$ 160 = 16 \cdot 10 $
Тогда выражение примет вид:
$ \sqrt{810 \cdot 160} = \sqrt{(81 \cdot 10) \cdot (16 \cdot 10)} = \sqrt{81 \cdot 16 \cdot 10^2} $
Извлекаем корень из каждого множителя:
$ \sqrt{81} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{10^2} = 9 \cdot 4 \cdot 10 = 360 $
Ответ: 360

г) Для вычисления $ \sqrt{80 \cdot 125} $ разложим множители:
$ 80 = 16 \cdot 5 $
$ 125 = 25 \cdot 5 $
Подставим разложение в исходное выражение:
$ \sqrt{80 \cdot 125} = \sqrt{(16 \cdot 5) \cdot (25 \cdot 5)} = \sqrt{16 \cdot 25 \cdot 5^2} $
Извлекаем корень из каждого множителя:
$ \sqrt{16} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{5^2} = 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100 $
Ответ: 100

д) Для вычисления $ \sqrt{75 \cdot 12} $ разложим множители:
$ 75 = 25 \cdot 3 $
$ 12 = 4 \cdot 3 $
Подставим разложение в выражение:
$ \sqrt{75 \cdot 12} = \sqrt{(25 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 3)} = \sqrt{25 \cdot 4 \cdot 3^2} $
Извлекаем корень:
$ \sqrt{25} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3^2} = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30 $
Ответ: 30

е) Для вычисления $ \sqrt{0,9 \cdot 8,1} $ представим десятичные дроби в виде произведения целого числа и степени десяти или в виде обыкновенных дробей.
$ \sqrt{0,9 \cdot 8,1} = \sqrt{\frac{9}{10} \cdot \frac{81}{10}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 81}{100}} $
Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя:
$ \frac{\sqrt{9 \cdot 81}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{3 \cdot 9}{10} = \frac{27}{10} = 2,7 $
Ответ: 2,7

ж) Для вычисления $ \sqrt{3,2 \cdot 1,8} $ преобразуем подкоренное выражение:
$ \sqrt{3,2 \cdot 1,8} = \sqrt{(16 \cdot 0,2) \cdot (9 \cdot 0,2)} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 0,2^2} $
Извлекаем корень из каждого множителя:
$ \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{0,2^2} = 4 \cdot 3 \cdot 0,2 = 12 \cdot 0,2 = 2,4 $
Альтернативный способ — перемножить числа под корнем: $ 3,2 \cdot 1,8 = 5,76 $. Тогда $ \sqrt{5,76} = 2,4 $, так как $ 24^2=576 $.
Ответ: 2,4

з) Для вычисления $ \sqrt{14,4 \cdot 22,5} $ преобразуем выражение, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:
$ \sqrt{14,4 \cdot 22,5} = \sqrt{\frac{144}{10} \cdot \frac{225}{10}} = \sqrt{\frac{144 \cdot 225}{100}} $
Извлекаем корень:
$ \frac{\sqrt{144} \cdot \sqrt{225}}{\sqrt{100}} = \frac{12 \cdot 15}{10} = \frac{180}{10} = 18 $
Ответ: 18

и) Для вычисления $ \sqrt{1,69 \cdot 6,25} $ воспользуемся свойством корня из произведения.
$ \sqrt{1,69 \cdot 6,25} = \sqrt{1,69} \cdot \sqrt{6,25} $
Так как $ 13^2 = 169 $ и $ 25^2 = 625 $, то $ 1,3^2 = 1,69 $ и $ 2,5^2 = 6,25 $.
$ \sqrt{1,69} \cdot \sqrt{6,25} = 1,3 \cdot 2,5 = 3,25 $
Ответ: 3,25