Номер 22.7, страница 99 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.7. Сравните значения выражений $\sqrt{a \cdot b}$ и $\sqrt{\frac{a}{b}}$, если:

a) $a = 81, b = 25;$

б) $a = -49, b = -0,09;$

В) $a = \frac{9}{16}, b = 1\frac{9}{16}$.

а) Подставим значения $a=81$ и $b=25$ в оба выражения.

Первое выражение: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{81 \cdot 25}$.

Так как $a > 0$ и $b > 0$, можно воспользоваться свойством корня из произведения: $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.

$\sqrt{81 \cdot 25} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{25} = 9 \cdot 5 = 45$.

Второе выражение: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{81}{25}}$.

Воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$.

$\sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5} = 1,8$.

Сравним полученные значения: $45 > 1,8$.

Следовательно, $\sqrt{a \cdot b} > \sqrt{\frac{a}{b}}$.

Ответ: $\sqrt{a \cdot b} > \sqrt{\frac{a}{b}}$.

б) Подставим значения $a=-49$ и $b=-0,09$ в оба выражения.

Так как $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $a \cdot b$ и частное $\frac{a}{b}$ будут положительными числами, поэтому извлечение квадратного корня из этих выражений является возможным.

Первое выражение: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{(-49) \cdot (-0,09)} = \sqrt{49 \cdot 0,09}$.

$\sqrt{49 \cdot 0,09} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{0,09} = 7 \cdot 0,3 = 2,1$.

Второе выражение: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-49}{-0,09}} = \sqrt{\frac{49}{0,09}}$.

$\sqrt{\frac{49}{0,09}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{0,09}} = \frac{7}{0,3} = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3}$.

Сравним полученные значения: $2,1 < 23\frac{1}{3}$.

Следовательно, $\sqrt{a \cdot b} < \sqrt{\frac{a}{b}}$.

Ответ: $\sqrt{a \cdot b} < \sqrt{\frac{a}{b}}$.

в) Подставим значения $a = \frac{9}{16}$ и $b = 1\frac{9}{16}$.

Сначала преобразуем смешанную дробь $b$ в неправильную:

$b = 1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$.

Теперь вычислим значения выражений.

Первое выражение: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{25}{16}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 25}{16 \cdot 16}} = \sqrt{\frac{225}{256}}$.

$\sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{256}} = \frac{15}{16}$.

Второе выражение: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{9/16}{25/16}}$.

Упростим подкоренное выражение: $\frac{9/16}{25/16} = \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$.

Сравним полученные дроби $\frac{15}{16}$ и $\frac{3}{5}$. Для этого приведем их к общему знаменателю $16 \cdot 5 = 80$.

$\frac{15}{16} = \frac{15 \cdot 5}{16 \cdot 5} = \frac{75}{80}$.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 16}{5 \cdot 16} = \frac{48}{80}$.

Так как $\frac{75}{80} > \frac{48}{80}$, то $\frac{15}{16} > \frac{3}{5}$.

Следовательно, $\sqrt{a \cdot b} > \sqrt{\frac{a}{b}}$.

Ответ: $\sqrt{a \cdot b} > \sqrt{\frac{a}{b}}$.