Номер 22.23, страница 102 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.23. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{72} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{48}$;

б) $\sqrt{32} \cdot \sqrt{50} + \sqrt{\frac{7}{81}} \cdot \sqrt{7}$;

в) $\sqrt{80 \cdot 5} - \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{245}}$;

г) $\sqrt{2} : \sqrt{32} + \sqrt{24 \cdot 150}.$

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{2} \cdot \sqrt{72} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{48}$ воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Вычислим первое произведение: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{72} = \sqrt{2 \cdot 72} = \sqrt{144} = 12$.
Вычислим второе произведение: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{48} = \sqrt{3 \cdot 48} = \sqrt{144} = 12$.
Теперь найдем разность полученных значений: $12 - 12 = 0$.
Ответ: $0$.

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt{32} \cdot \sqrt{50} + \sqrt{\frac{7}{81}} \cdot \sqrt{7}$ рассмотрим каждое слагаемое отдельно.
Первое слагаемое: $\sqrt{32} \cdot \sqrt{50}$. Упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Перемножим упрощенные выражения: $4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = (4 \cdot 5) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 20 \cdot 2 = 40$.
Второе слагаемое: $\sqrt{\frac{7}{81}} \cdot \sqrt{7}$. Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{7}{81}} \cdot \sqrt{7} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{81}} \cdot \sqrt{7} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{9} = \frac{7}{9}$.
Теперь сложим полученные значения: $40 + \frac{7}{9} = 40\frac{7}{9}$.
Ответ: $40\frac{7}{9}$.

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{80 \cdot 5} - \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{245}}$ рассмотрим уменьшаемое и вычитаемое отдельно.
Уменьшаемое: $\sqrt{80 \cdot 5} = \sqrt{400} = 20$.
Вычитаемое: $\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{245}}$. Для его упрощения вынесем множители из-под знака корня в числителе и знаменателе:
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.
$\sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5} = 7\sqrt{5}$.
Теперь разделим одно на другое: $\frac{4\sqrt{5}}{7\sqrt{5}} = \frac{4}{7}$.
Найдем разность: $20 - \frac{4}{7} = 19 + 1 - \frac{4}{7} = 19 + \frac{7-4}{7} = 19\frac{3}{7}$.
Ответ: $19\frac{3}{7}$.

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt{2} : \sqrt{32} + \sqrt{24 \cdot 150}$ рассмотрим каждое слагаемое отдельно.
Первое слагаемое: $\sqrt{2} : \sqrt{32} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{32}}$. Воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
Второе слагаемое: $\sqrt{24 \cdot 150}$. Выполним умножение подкоренных выражений: $24 \cdot 150 = 3600$.
Тогда корень равен: $\sqrt{3600} = \sqrt{36 \cdot 100} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{100} = 6 \cdot 10 = 60$.
Теперь сложим полученные значения: $\frac{1}{4} + 60 = 60\frac{1}{4}$.
Ответ: $60\frac{1}{4}$.