Номер 22.27, страница 102 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.27. Упростите выражение:

а) $\sqrt{a^2}$, если $a > 0;$

б) $\sqrt{m^2}$, если $m < 0;$

в) $\sqrt{16b^2}$, если $b < 0;$

г) $\sqrt{\frac{x^2}{49}}$, если $x \geq 0;$

д) $-5\sqrt{d^2}$, если $d > 0;$

е) $-3\sqrt{0,36c^2}$, если $c \leq 0;$

ж) $-\sqrt{\frac{n^2}{64}}$, если $n < 0;$

з) $-\sqrt{5\frac{1}{16}x^2}$, если $x \geq 0.$

Основное свойство, которое мы будем использовать для решения этой задачи, — это тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, где $|x|$ — это модуль (абсолютное значение) числа $x$. Модуль числа определяется следующим образом:

• $|x| = x$, если $x \ge 0$ (модуль неотрицательного числа равен самому числу)
• $|x| = -x$, если $x < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу)

а)

Дано выражение $\sqrt{a^2}$ при условии, что $a > 0$.
Согласно тождеству, $\sqrt{a^2} = |a|$.
Так как по условию $a > 0$ (a — положительное число), то $|a| = a$.

Ответ: $a$

б)

Дано выражение $\sqrt{m^2}$ при условии, что $m < 0$.
Согласно тождеству, $\sqrt{m^2} = |m|$.
Так как по условию $m < 0$ (m — отрицательное число), то $|m| = -m$.

Ответ: $-m$

в)

Дано выражение $\sqrt{16b^2}$ при условии, что $b < 0$.
Сначала преобразуем подкоренное выражение: $16b^2 = (4b)^2$.
Тогда $\sqrt{16b^2} = \sqrt{(4b)^2} = |4b|$.
Так как по условию $b < 0$, то произведение $4b$ также будет отрицательным ($4b < 0$). Следовательно, $|4b| = -(4b) = -4b$.

Ответ: $-4b$

г)

Дано выражение $\sqrt{\frac{x^2}{49}}$ при условии, что $x \ge 0$.
Преобразуем подкоренное выражение: $\frac{x^2}{49} = (\frac{x}{7})^2$.
Тогда $\sqrt{\frac{x^2}{49}} = \sqrt{(\frac{x}{7})^2} = |\frac{x}{7}|$.
Так как по условию $x \ge 0$, то частное $\frac{x}{7}$ будет неотрицательным ($\frac{x}{7} \ge 0$). Следовательно, $|\frac{x}{7}| = \frac{x}{7}$.

Ответ: $\frac{x}{7}$

д)

Дано выражение $-5\sqrt{d^2}$ при условии, что $d > 0$.
Упростим корень: $\sqrt{d^2} = |d|$.
Так как по условию $d > 0$, то $|d| = d$.
Подставляем это в исходное выражение: $-5 \cdot |d| = -5 \cdot d = -5d$.

Ответ: $-5d$

е)

Дано выражение $-3\sqrt{0,36c^2}$ при условии, что $c \le 0$.
Преобразуем подкоренное выражение: $0,36c^2 = (0,6c)^2$.
Тогда выражение примет вид $-3\sqrt{(0,6c)^2} = -3|0,6c|$.
Так как по условию $c \le 0$, то произведение $0,6c$ будет неположительным ($0,6c \le 0$). Следовательно, $|0,6c| = -(0,6c) = -0,6c$.
Подставляем в выражение: $-3 \cdot (-0,6c) = 1,8c$.

Ответ: $1,8c$

ж)

Дано выражение $-\sqrt{\frac{n^2}{64}}$ при условии, что $n < 0$.
Преобразуем подкоренное выражение: $\frac{n^2}{64} = (\frac{n}{8})^2$.
Тогда выражение примет вид $-\sqrt{(\frac{n}{8})^2} = -|\frac{n}{8}|$.
Так как по условию $n < 0$, то частное $\frac{n}{8}$ будет отрицательным ($\frac{n}{8} < 0$). Следовательно, $|\frac{n}{8}| = -(\frac{n}{8}) = -\frac{n}{8}$.
Подставляем в выражение: $- (-\frac{n}{8}) = \frac{n}{8}$.

Ответ: $\frac{n}{8}$

з)

Дано выражение $-\sqrt{5\frac{1}{16}x^2}$ при условии, что $x \ge 0$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.
Теперь преобразуем подкоренное выражение: $\frac{81}{16}x^2 = (\frac{9}{4}x)^2$.
Выражение примет вид $-\sqrt{(\frac{9}{4}x)^2} = -|\frac{9}{4}x|$.
Так как по условию $x \ge 0$, то произведение $\frac{9}{4}x$ будет неотрицательным ($\frac{9}{4}x \ge 0$). Следовательно, $|\frac{9}{4}x| = \frac{9}{4}x$.
Подставляем в выражение: $-(\frac{9}{4}x) = -\frac{9}{4}x$.

Ответ: $-\frac{9}{4}x$