Номер 22.32, страница 103 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.32. Упростите выражение, используя свойства корня:

а) $\sqrt{(a - 1)^2}$ при $a \ge 1$;

б) $\sqrt{(a + 6)^2}$ при $a < -6$;

в) $\sqrt{(a - 4)^2} + \sqrt{(a - 7)^2}$ при $4 \le a \le 7$;

г) $\sqrt{(a + 9)^2} - \sqrt{(a + 1)^2}$ при $a < -9$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{(a-1)^2}$ при $a \ge 1$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$ для любого действительного числа $x$.

Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$.

Теперь необходимо раскрыть модуль, учитывая заданное условие $a \ge 1$. Если $a \ge 1$, то разность $a-1$ будет больше или равна нулю ($a-1 \ge 0$).

По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль этого выражения равен самому выражению. Следовательно, $|a-1| = a-1$.

Таким образом, итоговое упрощенное выражение: $a-1$.

Ответ: $a-1$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt{(a+6)^2}$ при $a < -6$ используем то же свойство корня: $\sqrt{x^2} = |x|$.

Применяя свойство, имеем: $\sqrt{(a+6)^2} = |a+6|$.

Раскроем модуль, используя условие $a < -6$. Если $a$ меньше чем $-6$, то сумма $a+6$ будет отрицательной ($a+6 < 0$).

По определению модуля, если подмодульное выражение отрицательно, то модуль этого выражения равен противоположному ему выражению. Следовательно, $|a+6| = -(a+6) = -a-6$.

Таким образом, итоговое упрощенное выражение: $-a-6$.

Ответ: $-a-6$

в)

Упростим выражение $\sqrt{(a-4)^2} + \sqrt{(a-7)^2}$ при условии $4 \le a \le 7$.

Применяем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ к каждому слагаемому в выражении:

$\sqrt{(a-4)^2} + \sqrt{(a-7)^2} = |a-4| + |a-7|$.

Теперь раскроем каждый модуль, учитывая двойное неравенство $4 \le a \le 7$.

1. Рассмотрим модуль $|a-4|$. Так как по условию $a \ge 4$, то выражение $a-4$ является неотрицательным ($a-4 \ge 0$). Следовательно, $|a-4| = a-4$.

2. Рассмотрим модуль $|a-7|$. Так как по условию $a \le 7$, то выражение $a-7$ является неположительным ($a-7 \le 0$). Следовательно, $|a-7| = -(a-7) = -a+7$.

Подставим полученные выражения обратно в сумму:

$(a-4) + (-a+7) = a - 4 - a + 7 = (a-a) + (-4+7) = 3$.

Ответ: $3$

г)

Упростим выражение $\sqrt{(a+9)^2} - \sqrt{(a+1)^2}$ при условии $a < -9$.

Применяем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ к уменьшаемому и вычитаемому:

$\sqrt{(a+9)^2} - \sqrt{(a+1)^2} = |a+9| - |a+1|$.

Теперь раскроем каждый модуль, учитывая условие $a < -9$.

1. Рассмотрим модуль $|a+9|$. Так как $a < -9$, то сумма $a+9$ будет отрицательной ($a+9 < 0$). Следовательно, $|a+9| = -(a+9) = -a-9$.

2. Рассмотрим модуль $|a+1|$. Если $a < -9$, то $a$ также меньше и $-1$. Значит, сумма $a+1$ тоже будет отрицательной ($a+1 < 0$). Следовательно, $|a+1| = -(a+1) = -a-1$.

Подставим полученные выражения обратно в разность:

$(-a-9) - (-a-1) = -a - 9 + a + 1 = (-a+a) + (-9+1) = -8$.

Ответ: $-8$