Номер 22.36, страница 104 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.36*. Представьте в виде многочлена выражение:

a) $\sqrt{a^2 - 12ab + 36b^2}$ при $a < 6b$;

б) $\sqrt{25m^2 - 10mn + n^2}$ при $n \geq 5m$.

а) Чтобы представить выражение в виде многочлена, упростим его.
Подкоренное выражение $a^2 - 12ab + 36b^2$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$ и $y=6b$. Проверим: $a^2 - 2 \cdot a \cdot (6b) + (6b)^2 = a^2 - 12ab + 36b^2$.
Значит, выражение под корнем можно свернуть: $a^2 - 12ab + 36b^2 = (a-6b)^2$.
Тогда исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{a^2 - 12ab + 36b^2} = \sqrt{(a-6b)^2}$.
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно:
$\sqrt{(a-6b)^2} = |a-6b|$.
Теперь используем условие $a < 6b$. Перенесем $6b$ в левую часть неравенства: $a - 6b < 0$.
Так как выражение под знаком модуля отрицательно, то по определению модуля $|c| = -c$ при $c < 0$.
Таким образом, $|a-6b| = -(a-6b) = -a + 6b = 6b-a$.
Ответ: $6b-a$.

б) Рассмотрим подкоренное выражение $25m^2 - 10mn + n^2$. Это также полный квадрат разности.
Воспользуемся формулой $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае можно положить $x=5m$ и $y=n$. Проверим: $(5m)^2 - 2 \cdot (5m) \cdot n + n^2 = 25m^2 - 10mn + n^2$.
Таким образом, выражение под корнем равно $(5m-n)^2$.
Исходное выражение можно переписать как:
$\sqrt{25m^2 - 10mn + n^2} = \sqrt{(5m-n)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{(5m-n)^2} = |5m-n|$.
Теперь используем условие $n \ge 5m$. Это неравенство можно переписать как $0 \ge 5m - n$, или $5m - n \le 0$.
Так как выражение под знаком модуля неположительно (меньше или равно нулю), то по определению модуля $|c| = -c$ при $c \le 0$.
Следовательно, $|5m-n| = -(5m-n) = -5m + n = n-5m$.
Ответ: $n-5m$.