Номер 22.29, страница 103 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.29. Вычислите:

a) $\sqrt{5^6}$;

б) $\sqrt{(-3)^8}$;

в) $\sqrt{7^4 \cdot (-10)^6}$;

г) $\sqrt{\frac{15^4 \cdot (-2)^8}{(-7)^4}}$.

а) Для вычисления корня из числа в степени воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. В данном выражении $\sqrt{5^6}$ имеем $a=5$ и показатель степени $6 = 2 \cdot 3$, то есть $k=3$.

$\sqrt{5^6} = \sqrt{(5^3)^2} = |5^3|$.

Так как $5^3$ — положительное число, то модуль можно опустить.

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Ответ: $125$.

б) Сначала обратим внимание на подкоренное выражение $\sqrt{(-3)^8}$. Так как число возводится в четную степень ($8$), результат будет положительным. То есть, $(-3)^8 = 3^8$.

Таким образом, выражение можно переписать как $\sqrt{3^8}$.

Теперь воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$. Здесь $a=3$, а показатель степени $8 = 2 \cdot 4$, то есть $k=4$.

$\sqrt{3^8} = \sqrt{(3^4)^2} = 3^4 = 81$.

Ответ: $81$.

в) Для вычисления $\sqrt{7^4 \cdot (-10)^6}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (применимо для $x \ge 0$ и $y \ge 0$).

Так как $7^4 > 0$ и $(-10)^6 > 0$ (поскольку степень 6 четная), мы можем применить это свойство.

$\sqrt{7^4 \cdot (-10)^6} = \sqrt{7^4} \cdot \sqrt{(-10)^6}$.

Вычислим каждый множитель отдельно, используя свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.

$\sqrt{7^4} = \sqrt{(7^2)^2} = |7^2| = 7^2 = 49$.

$\sqrt{(-10)^6} = \sqrt{((-10)^3)^2} = |(-10)^3| = |-1000| = 1000$.

Теперь перемножим полученные значения:

$49 \cdot 1000 = 49000$.

Ответ: $49000$.

г) Для вычисления $\sqrt{\frac{15^4 \cdot (-2)^8}{(-7)^4}}$ сначала упростим подкоренное выражение. Так как показатели степеней 8 и 4 четные, то $(-2)^8 = 2^8$ и $(-7)^4 = 7^4$.

Выражение принимает вид: $\sqrt{\frac{15^4 \cdot 2^8}{7^4}}$.

Воспользуемся свойствами корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ и корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ для неотрицательных $x$ и $y$.

$\sqrt{\frac{15^4 \cdot 2^8}{7^4}} = \frac{\sqrt{15^4 \cdot 2^8}}{\sqrt{7^4}} = \frac{\sqrt{15^4} \cdot \sqrt{2^8}}{\sqrt{7^4}}$.

Вычислим каждый корень по формуле $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$:

$\sqrt{15^4} = \sqrt{(15^2)^2} = 15^2 = 225$.

$\sqrt{2^8} = \sqrt{(2^4)^2} = 2^4 = 16$.

$\sqrt{7^4} = \sqrt{(7^2)^2} = 7^2 = 49$.

Подставим значения обратно в дробь и вычислим результат:

$\frac{225 \cdot 16}{49} = \frac{3600}{49}$.

Ответ: $\frac{3600}{49}$.