Номер 23.4, страница 105 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.4. Зная, что $a \le 0, b \ge 0$, вынесите множитель за знак корня в выражении:

а) $\sqrt{3a^2}$;

б) $\sqrt{7b^2}$;

в) $\sqrt{8a^6b^4}$;

г) $\sqrt{\frac{32}{25}a^4b^6}$;

д) $\sqrt{2,42a^{10}b^{12}}$;

е) $\sqrt{0,18a^{12}b^{18}}$.

Основное правило, которое используется для вынесения множителя из-под знака корня: $\sqrt{x^2} = |x|$. Модуль числа $|x|$ раскрывается в зависимости от знака $x$: если $x \ge 0$, то $|x|=x$; если $x < 0$, то $|x|=-x$. В данной задаче даны условия: $a \le 0$ и $b \ge 0$.

а) $\sqrt{3a^2} = \sqrt{3 \cdot a^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{3} \cdot |a|$.
Поскольку по условию $a \le 0$, то $|a| = -a$.
Следовательно, $\sqrt{3} \cdot |a| = \sqrt{3} \cdot (-a) = -a\sqrt{3}$.
Ответ: $-a\sqrt{3}$.

б) $\sqrt{7b^2} = \sqrt{7 \cdot b^2} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{7} \cdot |b|$.
Поскольку по условию $b \ge 0$, то $|b| = b$.
Следовательно, $\sqrt{7} \cdot |b| = \sqrt{7} \cdot b = b\sqrt{7}$.
Ответ: $b\sqrt{7}$.

в) $\sqrt{8a^6b^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2} = \sqrt{4 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 \cdot 2} = \sqrt{(2a^3b^2)^2 \cdot 2} = |2a^3b^2|\sqrt{2}$.
Оценим знак выражения под модулем: $2a^3b^2$.
Так как $a \le 0$, то $a^3 \le 0$.
Так как $b \ge 0$, то $b^2 \ge 0$.
Произведение положительного числа $2$, неположительного $a^3$ и неотрицательного $b^2$ является неположительным числом, то есть $2a^3b^2 \le 0$.
Значит, $|2a^3b^2| = -(2a^3b^2) = -2a^3b^2$.
Следовательно, итоговое выражение равно $-2a^3b^2\sqrt{2}$.
Ответ: $-2a^3b^2\sqrt{2}$.

г) $\sqrt{\frac{32}{25}a^4b^6} = \sqrt{\frac{16 \cdot 2}{25} \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2} = \sqrt{\frac{16}{25} \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot 2} = \sqrt{(\frac{4}{5}a^2b^3)^2 \cdot 2} = |\frac{4}{5}a^2b^3|\sqrt{2}$.
Оценим знак выражения под модулем: $\frac{4}{5}a^2b^3$.
Так как $a \le 0$, то $a^2 \ge 0$.
Так как $b \ge 0$, то $b^3 \ge 0$.
Произведение положительного числа $\frac{4}{5}$, неотрицательного $a^2$ и неотрицательного $b^3$ является неотрицательным числом, то есть $\frac{4}{5}a^2b^3 \ge 0$.
Значит, $|\frac{4}{5}a^2b^3| = \frac{4}{5}a^2b^3$.
Следовательно, итоговое выражение равно $\frac{4}{5}a^2b^3\sqrt{2}$.
Ответ: $\frac{4}{5}a^2b^3\sqrt{2}$.

д) $\sqrt{2,42a^{10}b^{12}} = \sqrt{1,21 \cdot 2 \cdot (a^5)^2 \cdot (b^6)^2} = \sqrt{1,21 \cdot (a^5)^2 \cdot (b^6)^2 \cdot 2} = \sqrt{(1,1a^5b^6)^2 \cdot 2} = |1,1a^5b^6|\sqrt{2}$.
Оценим знак выражения под модулем: $1,1a^5b^6$.
Так как $a \le 0$, то $a^5 \le 0$.
Так как $b \ge 0$, то $b^6 \ge 0$.
Произведение положительного числа $1,1$, неположительного $a^5$ и неотрицательного $b^6$ является неположительным числом, то есть $1,1a^5b^6 \le 0$.
Значит, $|1,1a^5b^6| = -(1,1a^5b^6) = -1,1a^5b^6$.
Следовательно, итоговое выражение равно $-1,1a^5b^6\sqrt{2}$.
Ответ: $-1,1a^5b^6\sqrt{2}$.

е) $\sqrt{0,18a^{12}b^{18}} = \sqrt{0,09 \cdot 2 \cdot (a^6)^2 \cdot (b^9)^2} = \sqrt{0,09 \cdot (a^6)^2 \cdot (b^9)^2 \cdot 2} = \sqrt{(0,3a^6b^9)^2 \cdot 2} = |0,3a^6b^9|\sqrt{2}$.
Оценим знак выражения под модулем: $0,3a^6b^9$.
Так как $a \le 0$, то $a^6 \ge 0$ (четная степень).
Так как $b \ge 0$, то $b^9 \ge 0$.
Произведение положительного числа $0,3$, неотрицательного $a^6$ и неотрицательного $b^9$ является неотрицательным числом, то есть $0,3a^6b^9 \ge 0$.
Значит, $|0,3a^6b^9| = 0,3a^6b^9$.
Следовательно, итоговое выражение равно $0,3a^6b^9\sqrt{2}$.
Ответ: $0,3a^6b^9\sqrt{2}$.