Номер 23.8, страница 105 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.8. Пользуясь алгоритмом, внесите множитель под знак корня:

а) $4\sqrt{3}$;

б) $2\sqrt{5}$;

в) $0,1\sqrt{13}$;

г) $\frac{1}{7}\sqrt{343}$;

д) $\frac{2}{3}\sqrt{48}$;

е) $-\frac{1}{4}\sqrt{2}$.

Алгоритм внесения множителя под знак квадратного корня для выражения $c\sqrt{a}$ (где $a \ge 0$) следующий:

• Если множитель $c$ неотрицательный ($c \ge 0$), то его вносят под знак корня, возведя в квадрат: $c\sqrt{a} = \sqrt{c^2 \cdot a}$.
• Если множитель $c$ отрицательный ($c < 0$), то перед корнем оставляют знак "минус", а под корень вносят модуль этого множителя (положительное число), возведенный в квадрат: $c\sqrt{a} = -|c|\sqrt{a} = -\sqrt{|c|^2 \cdot a} = -\sqrt{c^2 \cdot a}$.

а)

Множитель 4 является положительным числом. Чтобы внести его под знак корня, возведем его в квадрат и умножим на подкоренное выражение.
$4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.

Ответ: $\sqrt{48}$

б)

Множитель 2 является положительным числом. Вносим его под знак корня, возведя в квадрат.
$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.

Ответ: $\sqrt{20}$

в)

Множитель 0,1 является положительным числом. Возводим его в квадрат и вносим под знак корня.
$0,1\sqrt{13} = \sqrt{(0,1)^2 \cdot 13} = \sqrt{0,01 \cdot 13} = \sqrt{0,13}$.

Ответ: $\sqrt{0,13}$

г)

Множитель $\frac{1}{7}$ является положительным числом. Возводим его в квадрат и вносим под знак корня.
$\frac{1}{7}\sqrt{343} = \sqrt{(\frac{1}{7})^2 \cdot 343} = \sqrt{\frac{1}{49} \cdot 343} = \sqrt{\frac{343}{49}}$.
Так как $343 = 7^3 = 7 \cdot 49$, то $\frac{343}{49} = 7$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{343}{49}} = \sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{7}$

д)

Множитель $\frac{2}{3}$ является положительным числом. Вносим его под корень, возведя в квадрат.
$\frac{2}{3}\sqrt{48} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 48} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 48} = \sqrt{\frac{4 \cdot 48}{9}}$.
Сократим выражение под корнем: $\frac{4 \cdot 48}{9} = \frac{4 \cdot 16 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{64}{3}$.
Таким образом, получаем $\sqrt{\frac{64}{3}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{64}{3}}$

е)

Множитель $-\frac{1}{4}$ является отрицательным числом. В этом случае знак "минус" остается перед корнем, а под знак корня вносим положительное число $\frac{1}{4}$, возведенное в квадрат.
$-\frac{1}{4}\sqrt{2} = -\sqrt{(\frac{1}{4})^2 \cdot 2} = -\sqrt{\frac{1}{16} \cdot 2} = -\sqrt{\frac{2}{16}} = -\sqrt{\frac{1}{8}}$.

Ответ: $-\sqrt{\frac{1}{8}}$