Номер 21.25, страница 98 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.25*. Найдите, при каких значениях числа $a$ уравнение $2x^2 = a - 3$:

Рассмотрим данное уравнение: $2x^2 = a - 3$.

Это неполное квадратное уравнение относительно переменной $x$. Чтобы определить количество его корней в зависимости от параметра $a$, выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{a - 3}{2}$

Количество действительных корней этого уравнения зависит от знака выражения в правой части, то есть от знака дроби $\frac{a - 3}{2}$.

а) имеет два корня

Уравнение имеет два различных корня ($x_1$ и $x_2$), если выражение в правой части строго положительно. В этом случае корни будут противоположны по знаку ($x_1 = -\sqrt{k}$ и $x_2 = \sqrt{k}$, где $k > 0$).

Требуем, чтобы правая часть была больше нуля:

$\frac{a - 3}{2} > 0$

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$a - 3 > 0$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$a > 3$

Ответ: при $a > 3$.

б) имеет единственный корень

Уравнение имеет единственный корень, если выражение в правой части равно нулю. В этом случае уравнение примет вид $x^2 = 0$, единственным решением которого является $x = 0$.

Приравняем правую часть к нулю:

$\frac{a - 3}{2} = 0$

Умножим обе части уравнения на 2:

$a - 3 = 0$

Прибавим 3 к обеим частям уравнения:

$a = 3$

Ответ: при $a = 3$.

в) не имеет корней

Уравнение не имеет действительных корней, если выражение в правой части отрицательно, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Требуем, чтобы правая часть была меньше нуля:

$\frac{a - 3}{2} < 0$

Умножим обе части неравенства на 2:

$a - 3 < 0$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$a < 3$

Ответ: при $a < 3$.