Номер 21.23, страница 98 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.23. Вычислите:

а) $\sqrt{\frac{73^2 - 2 \cdot 73 \cdot 23 + 23^2}{26^2 - 24^2}}$;

б) $\sqrt{\frac{32^2 - 15^2}{47}} - 1.$

а) Для решения этого примера используем формулы сокращенного умножения: квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Числитель выражения под корнем, $73^2 - 2 \cdot 73 \cdot 23 + 23^2$, является полным квадратом разности чисел 73 и 23. Свернем его по формуле:

$73^2 - 2 \cdot 73 \cdot 23 + 23^2 = (73 - 23)^2 = 50^2 = 2500$.

Знаменатель выражения под корнем, $26^2 - 24^2$, является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле:

$26^2 - 24^2 = (26 - 24)(26 + 24) = 2 \cdot 50 = 100$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$\sqrt{\frac{73^2 - 2 \cdot 73 \cdot 23 + 23^2}{26^2 - 24^2}} = \sqrt{\frac{50^2}{100}} = \sqrt{\frac{2500}{100}} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

б) Для решения этого примера также используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Рассмотрим выражение под знаком корня. Сначала преобразуем числитель дроби $32^2 - 15^2$:

$32^2 - 15^2 = (32 - 15)(32 + 15) = 17 \cdot 47$.

Подставим полученный результат в дробь и сократим ее:

$\frac{32^2 - 15^2}{47} = \frac{17 \cdot 47}{47} = 17$.

Теперь подставим это значение обратно в подкоренное выражение и выполним вычитание:

$\sqrt{\frac{32^2 - 15^2}{47} - 1} = \sqrt{17 - 1} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: 4