Номер 25.28, страница 123 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.28. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии от каждой своей подруги, требовалось 42 фотографии. Найдите, сколько было подруг.

Пусть $n$ — это количество подруг.

Каждая из $n$ подруг должна подарить по одной фотографии каждой из остальных подруг. Количество подруг, которым каждая девочка дарит фотографию, равно $n-1$ (то есть всем, кроме себя).

Следовательно, общее количество фотографий, которыми они обмениваются, вычисляется как произведение количества подруг на количество фотографий, которые дарит каждая из них.

Это можно записать в виде уравнения: $n \times (n-1) = 42$

Для решения этого уравнения преобразуем его в стандартное квадратное уравнение: $n^2 - n = 42$ $n^2 - n - 42 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$ $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{169}}{2} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку количество подруг ($n$) не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -6$ не является решением задачи. Таким образом, единственно верный ответ — $n=7$.

Проверим: если подруг было 7, то каждая из них подарила по одной фотографии остальным 6 подругам. Общее количество фотографий составило $7 \times 6 = 42$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 7 подруг.