Номер 25.26, страница 122 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.26. Фонтан имеет форму прямоугольника со сторонами 5 м и 7 м. Он окружен дорожкой постоянной ширины, площадь которой равна 64 м². Найдите ширину дорожки.

Обозначим ширину дорожки за $x$ метров. Фонтан имеет форму прямоугольника со сторонами 5 м и 7 м. Его площадь $S_{фонтана}$ равна:

$S_{фонтана} = 5 \cdot 7 = 35$ м$^2$.

Дорожка постоянной ширины $x$ окружает фонтан со всех сторон. Это означает, что фонтан вместе с дорожкой образует новый, больший прямоугольник. Ширина $x$ добавляется с двух сторон к длине и с двух сторон к ширине исходного прямоугольника.

Новые размеры большого прямоугольника будут:

• Длина: $7 + x + x = 7 + 2x$ м
• Ширина: $5 + x + x = 5 + 2x$ м

Площадь этого большого прямоугольника $S_{общая}$ равна произведению его сторон:

$S_{общая} = (7 + 2x)(5 + 2x)$

Площадь дорожки $S_{дорожки}$ равна разности между общей площадью и площадью фонтана. По условию задачи, площадь дорожки равна 64 м$^2$.

$S_{дорожки} = S_{общая} - S_{фонтана}$

Составим уравнение, подставив известные значения:

$64 = (7 + 2x)(5 + 2x) - 35$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$64 = (7 \cdot 5 + 7 \cdot 2x + 2x \cdot 5 + 2x \cdot 2x) - 35$

$64 = (35 + 14x + 10x + 4x^2) - 35$

Упростим выражение:

$64 = 4x^2 + 24x + 35 - 35$

$64 = 4x^2 + 24x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 + 24x - 64 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 4:

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку ширина дорожки $x$ является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -8$ не является решением задачи.

Единственное подходящее решение — $x = 2$. Таким образом, ширина дорожки составляет 2 метра.

Ответ: 2 м.