Номер 25.20, страница 122 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.20. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите длины его сторон, если площадь прямоугольника равна $24\text{ см}^2$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ сантиметров.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи, периметр равен 20 см. Составим первое уравнение:

$2(a + b) = 20$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$a + b = 10$

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, площадь равна 24 см². Составим второе уравнение:

$a \cdot b = 24$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a + b = 10 \\ a \cdot b = 24 \end{cases}$

Эту систему можно решить методом подстановки. Выразим переменную $a$ из первого уравнения:

$a = 10 - b$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$(10 - b) \cdot b = 24$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$10b - b^2 = 24$

$b^2 - 10b + 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 10, а их произведение равно 24. Легко подобрать корни: это числа 4 и 6.

Либо можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$

Найдем корни уравнения:

$b_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$b_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два возможных значения для одной из сторон: 6 см и 4 см.

Если одна сторона $b = 6$ см, то вторая сторона $a = 10 - 6 = 4$ см.

Если одна сторона $b = 4$ см, то вторая сторона $a = 10 - 4 = 6$ см.

В обоих случаях длины сторон прямоугольника составляют 4 см и 6 см.

Выполним проверку:

Периметр: $2 \cdot (4 + 6) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Площадь: $4 \cdot 6 = 24$ см².

Все условия задачи выполнены.

Ответ: длины сторон прямоугольника равны 4 см и 6 см.