Номер 25.25, страница 122 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.25. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 111 больше их произведения. Найдите эти числа.

Пусть первое искомое натуральное число равно $n$. Поскольку числа последовательные, второе число будет равно $n+1$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих чисел на 111 больше их произведения. Запишем это в виде уравнения:

$n^2 + (n+1)^2 = n(n+1) + 111$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 + (n^2 + 2n + 1) = n^2 + n + 111$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2n^2 + 2n + 1 = n^2 + n + 111$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$(2n^2 - n^2) + (2n - n) + (1 - 111) = 0$

$n^2 + n - 110 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Согласно ей, сумма корней приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ равна $-p$, а их произведение равно $q$. В нашем случае нам нужно найти два числа, сумма которых равна -1, а произведение равно -110. Подбором находим, что это числа 10 и -11:

$n_1 = 10$

$n_2 = -11$

В условии задачи сказано, что числа натуральные. Натуральные числа — это целые положительные числа. Поэтому корень $n_2 = -11$ не является решением задачи.

Таким образом, первое число равно 10.

Второе последовательное число: $n+1 = 10+1 = 11$.

Проведем проверку:

Сумма квадратов чисел 10 и 11: $10^2 + 11^2 = 100 + 121 = 221$.

Произведение чисел 10 и 11: $10 \cdot 11 = 110$.

Сравним сумму квадратов и произведение: $221 - 110 = 111$.

Сумма квадратов действительно на 111 больше произведения, что соответствует условию задачи.

Ответ: 10 и 11.