Номер 25.30, страница 123 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.30*. Вкладчик разместил в банке вклад в 500 р. По истечении года его вклад увеличился на сумму начисленных процентов. Тогда же вкладчик пополнил счет еще на 500 р. По истечении еще одного года вкладчик снял со счета 155 р. и оставил 1000 р. на новый срок. Сколько процентов в год начисляет банк?

Пусть искомая годовая процентная ставка банка составляет $p$ процентов. Тогда коэффициент, на который ежегодно увеличивается сумма вклада, равен $k = 1 + \frac{p}{100}$.

Изначально вкладчик разместил 500 р. Через год, после начисления процентов, сумма на счете стала:
$S_1 = 500 \cdot k$ р.

Затем вкладчик пополнил счет еще на 500 р. Сумма на счете стала:
$S'_1 = 500k + 500$ р.

По истечении еще одного года на эту сумму были начислены проценты, и она стала равна:
$S_2 = (500k + 500) \cdot k = 500k^2 + 500k$ р.

После этого вкладчик снял со счета 155 р., и на счете осталось 1000 р. Исходя из этого, мы можем составить уравнение:
$S_2 - 155 = 1000$
$(500k^2 + 500k) - 155 = 1000$

Теперь решим это уравнение относительно $k$:
$500k^2 + 500k = 1000 + 155$
$500k^2 + 500k = 1155$
$500k^2 + 500k - 1155 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 5:
$100k^2 + 100k - 231 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 100^2 - 4 \cdot 100 \cdot (-231) = 10000 + 92400 = 102400$

Найдем корни уравнения по формуле $k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$k = \frac{-100 \pm \sqrt{102400}}{2 \cdot 100} = \frac{-100 \pm 320}{200}$

У уравнения два корня:
$k_1 = \frac{-100 + 320}{200} = \frac{220}{200} = 1.1$
$k_2 = \frac{-100 - 320}{200} = \frac{-420}{200} = -2.1$

Поскольку коэффициент $k$ связан с процентной ставкой, которая не может быть отрицательной (сумма вклада увеличивалась), $k$ должен быть положительным числом. Следовательно, корень $k_2 = -2.1$ не имеет экономического смысла в данной задаче.

Итак, $k = 1.1$. Теперь найдем процентную ставку $p$:
$k = 1 + \frac{p}{100}$
$1.1 = 1 + \frac{p}{100}$
$\frac{p}{100} = 1.1 - 1$
$\frac{p}{100} = 0.1$
$p = 0.1 \cdot 100 = 10$

Таким образом, банк начисляет 10% в год.

Ответ: 10%.