Номер 25.33, страница 124 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.33*. Найдите, при каких значениях $a$ уравнение

$ax^2 - 20x + 2 = 0$:

а) имеет один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет два корня.

Для решения задачи проанализируем уравнение $ax^2 - 20x + 2 = 0$. Количество корней этого уравнения зависит от значения параметра $a$. Необходимо рассмотреть два основных случая.

Случай 1: $a = 0$
При $a=0$ уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:
$0 \cdot x^2 - 20x + 2 = 0$
$-20x + 2 = 0$
$20x = 2$
$x = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
В этом случае уравнение имеет ровно один корень.

Случай 2: $a \neq 0$
При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Количество его корней определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения коэффициенты равны $A=a, B=-20, C=2$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 400 - 8a$.
- Уравнение имеет два различных корня при $D > 0$, то есть $400 - 8a > 0 \implies a < 50$.
- Уравнение имеет один корень при $D = 0$, то есть $400 - 8a = 0 \implies a = 50$.
- Уравнение не имеет действительных корней при $D < 0$, то есть $400 - 8a < 0 \implies a > 50$.

Теперь, объединив результаты анализа, ответим на вопросы задачи.

а) имеет один корень
Уравнение имеет один корень в двух ситуациях:
1. Если $a=0$ (линейное уравнение). В этом случае корень $x=1/10$.
2. Если $a \neq 0$ (квадратное уравнение) и его дискриминант $D=0$. Это происходит при $a=50$.
Таким образом, уравнение имеет один корень при $a=0$ и при $a=50$.
Ответ: $a=0; a=50$.

б) не имеет корней
Уравнение не имеет действительных корней, если оно квадратное ($a \neq 0$) и его дискриминант отрицателен ($D < 0$).
Это условие выполняется при $a > 50$.
Ответ: $a > 50$.

в) имеет два корня
Уравнение имеет два различных действительных корня, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант положителен ($D > 0$).
Это условие выполняется при $a < 50$.
Так как мы рассматриваем случай $a \neq 0$, то итоговое условие: $a < 50$ и $a \neq 0$.
Ответ: $a < 50, a \neq 0$ (или в виде интервалов $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 50)$).