Номер 26.2, страница 124 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.2. С помощью теоремы Виета найдите сумму и произведение корней уравнения, если это возможно:

а) $x^2 - 8x + 3 = 0;$

б) $x^2 + 10x - 7 = 0;$

в) $x^2 + 2x + 9 = 0;$

г) $x^2 + 4x - \sqrt{5} = 0;$

д) $2x^2 - 8x + 3 = 0;$

е) $10x^2 - 2x - 7 = 0.$

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и его корнями $x_1$ и $x_2$. Формулы Виета выглядят следующим образом:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ (где $a=1$), формулы упрощаются:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
Применять теорему Виета для нахождения суммы и произведения действительных корней можно только в том случае, если уравнение имеет решения, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен ($D \ge 0$).

а) $x^2 - 8x + 3 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $p = -8$ и $q = 3$.
Проверим, существуют ли действительные корни. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 64 - 12 = 52$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -(-8) = 8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = 3$.
Ответ: сумма корней равна 8, произведение корней равно 3.

б) $x^2 + 10x - 7 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $p = 10$ и $q = -7$.
Проверим наличие действительных корней:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 100 + 28 = 128$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -10$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -7$.
Ответ: сумма корней равна -10, произведение корней равно -7.

в) $x^2 + 2x + 9 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $p = 2$ и $q = 9$.
Проверим наличие действительных корней:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = -32$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: найти сумму и произведение действительных корней невозможно, так как их нет.

г) $x^2 + 4x - \sqrt{5} = 0$
Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $p = 4$ и $q = -\sqrt{5}$.
Проверим наличие действительных корней:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\sqrt{5}) = 16 + 4\sqrt{5}$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -4$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -\sqrt{5}$.
Ответ: сумма корней равна -4, произведение корней равно $-\sqrt{5}$.

д) $2x^2 - 8x + 3 = 0$
Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a = 2, b = -8, c = 3$.
Проверим наличие действительных корней:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 64 - 24 = 40$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{2} = 4$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: сумма корней равна 4, произведение корней равно 1.5.

е) $10x^2 - 2x - 7 = 0$
Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a = 10, b = -2, c = -7$.
Проверим наличие действительных корней:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-7) = 4 + 280 = 284$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{10} = -0.7$.
Ответ: сумма корней равна 0.2, произведение корней равно -0.7.