Номер 26.4, страница 125 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.4. Найдите коэффициенты $p$ и $q$ квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, если известно, что его корнями являются числа:

а) 5 и 8;

б) -1 и 7;

в) -3 и -4.

Для нахождения коэффициентов $p$ и $q$ приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$

Из этих соотношений мы можем выразить коэффициенты $p$ и $q$ через корни уравнения:

$p = -(x_1 + x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

Применим эти формулы для каждого случая.

a) Корни уравнения: 5 и 8.

Пусть $x_1 = 5$ и $x_2 = 8$.

Найдем коэффициент $p$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(5 + 8) = -13$

Найдем коэффициент $q$:

$q = x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 8 = 40$

Таким образом, искомые коэффициенты равны -13 и 40, а уравнение имеет вид $x^2 - 13x + 40 = 0$.

Ответ: $p = -13, q = 40$.

б) Корни уравнения: -1 и 7.

Пусть $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$.

Найдем коэффициент $p$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(-1 + 7) = -6$

Найдем коэффициент $q$:

$q = x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 7 = -7$

Таким образом, искомые коэффициенты равны -6 и -7, а уравнение имеет вид $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Ответ: $p = -6, q = -7$.

в) Корни уравнения: -3 и -4.

Пусть $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$.

Найдем коэффициент $p$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(-3 + (-4)) = -(-7) = 7$

Найдем коэффициент $q$:

$q = x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot (-4) = 12$

Таким образом, искомые коэффициенты равны 7 и 12, а уравнение имеет вид $x^2 + 7x + 12 = 0$.

Ответ: $p = 7, q = 12$.