Номер 26.11, страница 126 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.11* Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения

$x^2 + 12x - 17 = 0$. Не решая уравнение, вычислите

$\frac{3+13x_1}{x_1} + \frac{3-13x_2}{x_2}$.

Дано квадратное уравнение $x^2+12x-17=0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни. Требуется вычислить значение выражения $\frac{3+13x_1}{x_1}+\frac{3-13x_2}{x_2}$ не решая уравнение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $x_1+x_2=-p$, а произведение корней равно $x_1x_2=q$.

В нашем уравнении $x^2+12x-17=0$ коэффициенты равны $p=12$ и $q=-17$.

Следовательно, сумма и произведение корней равны:

$x_1+x_2 = -12$

$x_1x_2 = -17$

Теперь преобразуем данное выражение. Сначала разделим числитель на знаменатель в каждой дроби:

$\frac{3+13x_1}{x_1}+\frac{3-13x_2}{x_2} = \left(\frac{3}{x_1} + \frac{13x_1}{x_1}\right) + \left(\frac{3}{x_2} - \frac{13x_2}{x_2}\right) = \left(\frac{3}{x_1} + 13\right) + \left(\frac{3}{x_2} - 13\right)$

Упростим полученное выражение, сократив $13$ и $-13$:

$\frac{3}{x_1} + 13 + \frac{3}{x_2} - 13 = \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$ и вынесем общий множитель 3 за скобки:

$\frac{3x_2}{x_1x_2} + \frac{3x_1}{x_1x_2} = \frac{3x_1+3x_2}{x_1x_2} = \frac{3(x_1+x_2)}{x_1x_2}$

Теперь подставим найденные по теореме Виета значения суммы и произведения корней в полученное выражение:

$\frac{3(x_1+x_2)}{x_1x_2} = \frac{3 \cdot (-12)}{-17} = \frac{-36}{-17} = \frac{36}{17}$

Ответ: $\frac{36}{17}$.