Номер 26.17, страница 126 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.17* Найдите коэффициент $q$ в уравнении $x^2 - 7x + q = 0$, зная, что один из его корней в 2,5 раза больше другого.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 7x + q = 0$.

Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, один из корней в 2,5 раза больше другого. Запишем это соотношение: пусть $x_2 = 2,5 \cdot x_1$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме:

• Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
• Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Применительно к нашему уравнению $x^2 - 7x + q = 0$ имеем:

$x_1 + x_2 = -(-7) = 7$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Теперь составим систему уравнений, используя соотношение между корнями и теорему Виета:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ x_2 = 2,5 \cdot x_1 \end{cases}$

Подставим второе уравнение системы в первое:

$x_1 + (2,5 \cdot x_1) = 7$

$3,5 \cdot x_1 = 7$

Теперь найдем значение первого корня $x_1$:

$x_1 = \frac{7}{3,5} = 2$

Зная $x_1$, найдем второй корень $x_2$:

$x_2 = 2,5 \cdot x_1 = 2,5 \cdot 2 = 5$

Мы нашли оба корня уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Теперь, чтобы найти коэффициент $q$, воспользуемся второй частью теоремы Виета, которая гласит, что произведение корней равно свободному члену:

$q = x_1 \cdot x_2$

$q = 2 \cdot 5 = 10$

Ответ: $q = 10$.