Номер 26.20, страница 127 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.20*. Уравнение $x^2 - 6x - 1 = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа $x_1^2$ и $x_2^2$.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 - 6x - 1 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Требуется составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут числа $y_1 = x_1^2$ и $y_2 = x_2^2$.

Новое приведенное квадратное уравнение с корнями $y_1$ и $y_2$ имеет вид $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0$. Чтобы его составить, нам нужно найти сумму $y_1 + y_2$ и произведение $y_1 y_2$ новых корней.

Для этого воспользуемся теоремой Виета для исходного уравнения $x^2 - 6x - 1 = 0$. Согласно этой теореме:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-6) / 1 = 6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -1 / 1 = -1$.

Теперь выразим сумму и произведение новых корней через сумму и произведение исходных корней.

Сумма новых корней:
$y_1 + y_2 = x_1^2 + x_2^2$.
Применим формулу квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$, откуда следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставим известные значения:
$y_1 + y_2 = (6)^2 - 2(-1) = 36 + 2 = 38$.

Произведение новых корней:
$y_1 y_2 = x_1^2 \cdot x_2^2 = (x_1 x_2)^2$.
Подставим известное значение:
$y_1 y_2 = (-1)^2 = 1$.

Теперь у нас есть все необходимое для составления нового уравнения:
Сумма новых корней равна $38$.
Произведение новых корней равно $1$.

Подставляем эти значения в общую формулу приведенного квадратного уравнения $y^2 - (\text{сумма корней})y + (\text{произведение корней}) = 0$:
$y^2 - 38y + 1 = 0$.

Так как имя переменной не имеет значения, искомое уравнение можно записать с переменной $x$.

Ответ: $x^2 - 38x + 1 = 0$.