Номер 26.18, страница 126 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.18*. При каком значении k один из корней уравнения $x^2 + kx - 10 = 0$ равен 2? Найдите сумму корней этого уравнения.

При каком значении k один из корней уравнения $x^2 + kx - 10 = 0$ равен 2?

По условию, один из корней уравнения равен 2. Это означает, что если подставить значение $x=2$ в уравнение, оно превратится в верное числовое равенство. Выполним подстановку:
$(2)^2 + k \cdot 2 - 10 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно неизвестной $k$:
$4 + 2k - 10 = 0$
$2k - 6 = 0$
$2k = 6$
$k = \frac{6}{2}$
$k = 3$
Ответ: при $k=3$.

Найдите сумму корней этого уравнения.

После того как мы нашли значение $k=3$, исходное уравнение принимает вид:
$x^2 + 3x - 10 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициент $p=3$, а свободный член $q=-10$.
Для нахождения суммы корней воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, сумма корней ($x_1 + x_2$) приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту ($p$), взятому с противоположным знаком.
$x_1 + x_2 = -p$
Для нашего уравнения:
$x_1 + x_2 = -3$

Для проверки: мы знаем, что один корень $x_1 = 2$. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $2 \cdot x_2 = -10$, откуда второй корень $x_2 = -5$. Тогда сумма корней равна $x_1 + x_2 = 2 + (-5) = -3$. Результат совпадает.
Ответ: -3.