Номер 26.23, страница 127 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.23*. Докажите, что если $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 - bx + c = 0$ ($a \ne 0$; $c \ne 0$), то корнями уравнения $cx^2 - bx + a = 0$ являются числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$.

Пусть $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 - bx + c = 0$. Согласно условию, $a \neq 0$ и $c \neq 0$.

По теореме Виета для первого уравнения имеем:

• Сумма корней: $m + n = -\frac{-b}{a} = \frac{b}{a}$
• Произведение корней: $m \cdot n = \frac{c}{a}$

Поскольку $c \neq 0$ и $a \neq 0$, то $m \cdot n = \frac{c}{a} \neq 0$. Это означает, что ни один из корней не равен нулю, то есть $m \neq 0$ и $n \neq 0$. Следовательно, числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ существуют.

Теперь рассмотрим второе уравнение $cx^2 - bx + a = 0$. Поскольку по условию $c \neq 0$, это также является квадратным уравнением. Нам нужно доказать, что его корнями являются числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$.

Для этого найдем сумму и произведение этих чисел, используя соотношения, полученные из теоремы Виета для первого уравнения.

Сумма чисел $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$:

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n + m}{m \cdot n} = \frac{m+n}{mn}$

Подставим известные нам значения $m+n = \frac{b}{a}$ и $mn = \frac{c}{a}$:

$\frac{b/a}{c/a} = \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = \frac{b}{c}$

Произведение чисел $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$:

$\frac{1}{m} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{m \cdot n}$

Подставим известное нам значение $mn = \frac{c}{a}$:

$\frac{1}{c/a} = \frac{a}{c}$

Теперь применим теорему, обратную теореме Виета, для уравнения $cx^2 - bx + a = 0$. Если бы у этого уравнения были корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма и произведение были бы равны:

• $x_1 + x_2 = -\frac{-b}{c} = \frac{b}{c}$
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{c}$

Мы видим, что сумма чисел $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ равна $\frac{b}{c}$, а их произведение равно $\frac{a}{c}$. Эти значения в точности совпадают со значениями суммы и произведения корней для уравнения $cx^2 - bx + a = 0$.

Следовательно, числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ являются корнями уравнения $cx^2 - bx + a = 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.