Номер 26.19, страница 127 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.19*. Уравнение $x^2 + px - 2 = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$.

Выразите через $p$:

а) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

б) $x_1^2 + x_2^2$;

в) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$.

Для решения данной задачи необходимо использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 + px - 2 = 0$ коэффициенты равны $b=p$ и $c=-2$. Следовательно, для его корней $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 x_2 = -2$

Теперь, используя эти два соотношения, выразим через $p$ требуемые выражения.

а)

Чтобы найти сумму $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$

Теперь подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-p}{-2} = \frac{p}{2}$

Ответ: $\frac{p}{2}$

б)

Чтобы выразить сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим из этой формулы $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2 \cdot (-2) = p^2 + 4$

Ответ: $p^2 + 4$

в)

Приведем выражение к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2}{x_1x_2} + \frac{x_2^2}{x_1x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$

В числителе мы получили сумму квадратов корней, которую мы уже нашли в пункте б): $x_1^2 + x_2^2 = p^2 + 4$. Значение знаменателя нам также известно: $x_1x_2 = -2$.

Подставим эти значения:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{p^2 + 4}{-2} = -\frac{p^2 + 4}{2}$

Ответ: $-\frac{p^2 + 4}{2}$