Номер 26.15, страница 126 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.15*. Найдите коэффициент $q$ в уравнении $x^2 - 6x + q = 0$, зная, что один из его корней в 2 раза больше другого.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 6x + q = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, один корень в два раза больше другого. Запишем это соотношение как $x_2 = 2x_1$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Для уравнения вида $x^2 + px + c = 0$ справедливы следующие формулы:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

Для нашего уравнения $x^2 - 6x + q = 0$ имеем: коэффициент при $x$ равен $p = -6$, а свободный член $c=q$. Применим теорему Виета:
1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-6) = 6$
2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Теперь мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($x_1$ и $x_2$) для нахождения корней:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_2 = 2x_1$

Подставим выражение для $x_2$ из второго уравнения в первое:
$x_1 + 2x_1 = 6$
$3x_1 = 6$
$x_1 = \frac{6}{3} = 2$

Зная первый корень, находим второй:
$x_2 = 2x_1 = 2 \cdot 2 = 4$

Теперь, когда мы нашли оба корня (2 и 4), мы можем вычислить значение коэффициента $q$, используя второе соотношение из теоремы Виета:
$q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 4 = 8$

Ответ: 8