Номер 26.8, страница 125 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.8. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 9x - 1 = 0$.

Не решая уравнение, найдите значение выражения:

а) $(x_1 + x_2)^2$;

б) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$;

в) $x_1^2 + x_2^2$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

В заданном уравнении $x^2 + 9x - 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 9$, $c = -1$.

Следовательно, по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{9}{1} = -9$

$x_1 x_2 = \frac{-1}{1} = -1$

Теперь, используя эти значения, найдем значения заданных выражений, не вычисляя сами корни.

а) $(x_1 + x_2)^2$

Нам уже известно значение суммы корней $x_1 + x_2 = -9$. Подставим это значение в выражение:

$(x_1 + x_2)^2 = (-9)^2 = 81$

Ответ: 81

б) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

Чтобы найти значение этого выражения, вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Теперь подставим известные нам значения $x_1 + x_2 = -9$ и $x_1x_2 = -1$:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-1) \cdot (-9) = 9$

Ответ: 9

в) $x_1^2 + x_2^2$

Для нахождения суммы квадратов корней воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применительно к нашим корням: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим из этой формулы искомое $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения $x_1 + x_2 = -9$ и $x_1x_2 = -1$:

$x_1^2 + x_2^2 = (-9)^2 - 2 \cdot (-1) = 81 + 2 = 83$

Ответ: 83