Номер 26.5, страница 125 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.5. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если его корни равны:

а) $2$ и $-5$;

б) $2$ и $-\frac{2}{3}$.

Чтобы составить квадратное уравнение с заданными корнями $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Согласно ей, искомое уравнение можно записать в виде: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение (где коэффициент при $x^2$ равен 1). Если в результате его составления получаются дробные коэффициенты, то уравнение нужно умножить на такое число, чтобы все коэффициенты стали целыми, как того требует условие задачи.

а) Даны корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$.
1. Найдем сумму корней:
$p = x_1 + x_2 = 2 + (-5) = -3$.
2. Найдем произведение корней:
$q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-5) = -10$.
3. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - px + q = 0$:
$x^2 - (-3)x + (-10) = 0$.
$x^2 + 3x - 10 = 0$.
Коэффициенты 1, 3, -10 являются целыми числами, поэтому полученное уравнение удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $x^2 + 3x - 10 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$.
1. Найдем сумму корней:
$p = x_1 + x_2 = 2 + (-\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
2. Найдем произведение корней:
$q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$.
3. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - px + q = 0$:
$x^2 - (\frac{4}{3})x + (-\frac{4}{3}) = 0$.
$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{4}{3} = 0$.
4. Полученное уравнение имеет дробные коэффициенты. Чтобы избавиться от дробей и получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, то есть на 3:
$3 \cdot (x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}) = 3 \cdot 0$.
$3x^2 - 3 \cdot \frac{4}{3}x - 3 \cdot \frac{4}{3} = 0$.
$3x^2 - 4x - 4 = 0$.
Коэффициенты 3, -4, -4 являются целыми числами, что удовлетворяет условию.
Ответ: $3x^2 - 4x - 4 = 0$.