Номер 26.10, страница 126 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.10. Определите уравнение, сумма квадратов корней которого равна 25:

а) $x^2 - 10x + 1 = 0;$

б) $x^2 - 5x - 3 = 0;$

в) $x^2 - 3x - 8 = 0;$

г) $x^2 + 10x + 25 = 0;$

д) $x^2 - 25x - 25 = 0.$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения: сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1x_2 = q$.

Сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ можно выразить через сумму и произведение корней: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставив выражения из теоремы Виета, получаем формулу для суммы квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q$.

По условию задачи, сумма квадратов корней должна быть равна 25. Проверим каждое из предложенных уравнений. Для существования действительных корней необходимо, чтобы дискриминант $D = p^2 - 4q$ был неотрицательным ($D \ge 0$).

В этом уравнении коэффициенты $p = -10$ и $q = 1$.

Проверим дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 = 100 - 4 = 96$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Вычислим сумму квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q = (-10)^2 - 2 \cdot 1 = 100 - 2 = 98$.

Результат 98 не равен 25.

Ответ: не подходит.

В этом уравнении коэффициенты $p = -5$ и $q = -3$.

Проверим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Вычислим сумму квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q = (-5)^2 - 2 \cdot (-3) = 25 + 6 = 31$.

Результат 31 не равен 25.

Ответ: не подходит.

В этом уравнении коэффициенты $p = -3$ и $q = -8$.

Проверим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot (-8) = 9 + 32 = 41$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Вычислим сумму квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q = (-3)^2 - 2 \cdot (-8) = 9 + 16 = 25$.

Результат равен 25, что соответствует условию задачи.

Ответ: подходит.

В этом уравнении коэффициенты $p = 10$ и $q = 25$.

Проверим дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$. Уравнение имеет один действительный корень кратности 2.

Вычислим сумму квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q = 10^2 - 2 \cdot 25 = 100 - 50 = 50$.

Результат 50 не равен 25.

Ответ: не подходит.

В этом уравнении коэффициенты $p = -25$ и $q = -25$.

Проверим дискриминант: $D = (-25)^2 - 4 \cdot (-25) = 625 + 100 = 725$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Вычислим сумму квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q = (-25)^2 - 2 \cdot (-25) = 625 + 50 = 675$.

Результат 675 не равен 25.

Ответ: не подходит.