Номер 26.13, страница 126 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.13*. Составьте квадратное уравнение, если известно, что произведение его корней равно 4, а сумма квадратов его корней равна 17.

Пусть искомое квадратное уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме Виета, для его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Из условия задачи нам известно:
1) Произведение корней равно 4, то есть $x_1 \cdot x_2 = 4$.
2) Сумма квадратов корней равна 17, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 17$.

Используя теорему Виета, мы можем сразу найти коэффициент $q$:
$q = x_1 \cdot x_2 = 4$.

Теперь найдем коэффициент $p$. Для этого нам нужно вычислить сумму корней $x_1 + x_2$. Выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Отсюда, $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
Применительно к нашим корням:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это выражение известные нам значения:
$17 = (x_1 + x_2)^2 - 2 \cdot 4$
$17 = (x_1 + x_2)^2 - 8$
$(x_1 + x_2)^2 = 17 + 8$
$(x_1 + x_2)^2 = 25$

Из этого уравнения находим два возможных значения для суммы корней:
$x_1 + x_2 = 5$ или $x_1 + x_2 = -5$.

Соответственно, для коэффициента $p = -(x_1 + x_2)$ также есть два возможных значения:
1. Если $x_1 + x_2 = 5$, то $p = -5$.
2. Если $x_1 + x_2 = -5$, то $p = 5$.

Таким образом, мы можем составить два квадратных уравнения, удовлетворяющих условию задачи:
1. Для $p = -5$ и $q = 4$ уравнение имеет вид: $x^2 - 5x + 4 = 0$.
2. Для $p = 5$ и $q = 4$ уравнение имеет вид: $x^2 + 5x + 4 = 0$.

Ответ: $x^2 - 5x + 4 = 0$ или $x^2 + 5x + 4 = 0$.