Номер 26.16, страница 126 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.16*. Найдите коэффициент $q$ в уравнении $x^2 - 10x + q = 0$, зная, что один из его корней в 4 раза больше другого.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения.

Уравнение имеет вид $x^2 - 10x + q = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию, один из корней в 4 раза больше другого. Запишем это математически:
$x_2 = 4x_1$

По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$):
1. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
2. Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Применительно к нашему уравнению, где $p = -10$, а свободный член равен $q$, получаем систему:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-10) \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 + x_2 = 10 \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases} $

Теперь объединим все известные соотношения в одну систему и решим ее:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 10 \\ x_1 \cdot x_2 = q \\ x_2 = 4x_1 \end{cases} $

Подставим третье уравнение в первое, чтобы найти значения корней:
$x_1 + 4x_1 = 10$
$5x_1 = 10$
$x_1 = \frac{10}{5} = 2$

Зная $x_1$, найдем второй корень $x_2$:
$x_2 = 4 \cdot x_1 = 4 \cdot 2 = 8$

Таким образом, корни уравнения равны 2 и 8.

Теперь, используя второе уравнение из теоремы Виета, найдем искомый коэффициент $q$, подставив в него найденные значения корней:
$q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 8 = 16$

Ответ: $16$.