Номер 26.22, страница 127 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.22* Решите уравнение $x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$, $k \in N$.

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной $x$ вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты зависят от параметра $k$, который является натуральным числом ($k \in \mathbb{N}$).

Исходное уравнение:

$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$

Для решения этого уравнения можно использовать формулу для корней квадратного уравнения. Сначала определим коэффициенты $a$, $b$ и $c$:

$a = 1$

$b = -(2k + 1)$

$c = k^2 + k$

Далее вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-(2k + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k^2 + k)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$D = (2k + 1)^2 - 4(k^2 + k) = (4k^2 + 4k + 1) - (4k^2 + 4k)$

$D = 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k = 1$

Так как дискриминант $D = 1$, он положителен, и, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня при любом натуральном $k$.

Найдем корни уравнения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-(2k + 1)) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{2k + 1 \pm 1}{2}$

Теперь найдем каждый корень по отдельности:

Первый корень:

$x_1 = \frac{2k + 1 + 1}{2} = \frac{2k + 2}{2} = \frac{2(k + 1)}{2} = k + 1$

Второй корень:

$x_2 = \frac{2k + 1 - 1}{2} = \frac{2k}{2} = k$

Таким образом, корнями уравнения являются $k$ и $k+1$.

Альтернативный способ (по теореме Виета):

Для уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = -(2k+1)$ и $q = k^2+k$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2k+1$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = k^2+k = k(k+1)$.

Из этих соотношений легко подобрать корни. Если предположить, что $x_1=k$ и $x_2=k+1$, то их произведение равно $k(k+1)$, а их сумма равна $k + (k+1) = 2k+1$. Оба условия выполняются, следовательно, $k$ и $k+1$ являются корнями уравнения.

Ответ: $x_1 = k, x_2 = k+1$.