Номер 26.12, страница 126 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.12*. Найдите корни уравнения, не используя формулу корней квадратного уравнения:

a) $x^2 - (\sqrt{5} + 1)x + \sqrt{5} = 0;$

б) $x^2 + (\sqrt{3} + \sqrt{7})x + \sqrt{21} = 0;$

в) $x^2 + (\sqrt{3} - 2)x - 2\sqrt{3} = 0.$

а) $x^2 - (\sqrt{5} + 1)x + \sqrt{5} = 0$

Данное уравнение является приведенным квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме Виета, для его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае коэффициенты равны $p = -(\sqrt{5} + 1)$ и $q = \sqrt{5}$.

Тогда система для корней выглядит так:

$x_1 + x_2 = -(-(\sqrt{5} + 1)) = \sqrt{5} + 1$

$x_1 \cdot x_2 = \sqrt{5}$

Методом подбора легко найти, что этим условиям удовлетворяют числа $\sqrt{5}$ и $1$.

Проверим:
Сумма: $\sqrt{5} + 1$. Условие выполняется.
Произведение: $\sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5}$. Условие выполняется.

Следовательно, корнями уравнения являются $1$ и $\sqrt{5}$.

Ответ: $1; \sqrt{5}$.

б) $x^2 + (\sqrt{3} + \sqrt{7})x + \sqrt{21} = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Применим теорему Виета. Коэффициенты здесь равны $p = \sqrt{3} + \sqrt{7}$ и $q = \sqrt{21}$.

Система уравнений для корней $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -p = -(\sqrt{3} + \sqrt{7})$

$x_1 \cdot x_2 = q = \sqrt{21}$

Заметим, что произведение корней можно представить как $\sqrt{21} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$. Исходя из этого и из уравнения для суммы корней, можно предположить, что корнями являются числа $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{7}$.

Проверим:
Сумма: $(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{7}) = -\sqrt{3} - \sqrt{7} = -(\sqrt{3} + \sqrt{7})$. Условие выполняется.
Произведение: $(-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{7}) = \sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{21}$. Условие выполняется.

Таким образом, корни уравнения: $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{7}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; -\sqrt{7}$.

в) $x^2 + (\sqrt{3} - 2)x - 2\sqrt{3} = 0$

Это также приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Коэффициенты равны $p = \sqrt{3} - 2$ и $q = -2\sqrt{3}$.

Составим систему для корней $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -p = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$

$x_1 \cdot x_2 = q = -2\sqrt{3}$

Из уравнения для произведения видно, что корни имеют разные знаки. Попробуем в качестве корней числа $\sqrt{3}$ и $-2$.
Их произведение: $\sqrt{3} \cdot (-2) = -2\sqrt{3}$. Это соответствует значению $q$.
Их сумма: $\sqrt{3} + (-2) = \sqrt{3} - 2$. Это не соответствует значению $-p$.

Попробуем другую пару чисел: $-\sqrt{3}$ и $2$.
Проверим их произведение: $(-\sqrt{3}) \cdot 2 = -2\sqrt{3}$. Соответствует $q$.
Проверим их сумму: $-\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$. Соответствует $-p$.

Следовательно, корни уравнения: $2$ и $-\sqrt{3}$.

Ответ: $2; -\sqrt{3}$.