Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Установите порядок действий и найдите значение выражения:

а) $9 \cdot 18^{-1}$;

б) $100 : (-5)^{-2}$;

в) $0,64 \cdot 0,4^{-2}$;

г) $-3^{-4} \cdot 27$;

д) $0,1 : (-0,5)^{-3}$;

е) $(-2)^{-5} : \frac{1}{8}$;

ж) $(-0,75)^{-3} : \frac{4}{9}$;

з) $-0,2^{-4} \cdot 0,16$;

и) $0,3 : (-0,1^4)$.

а) $9 \cdot 18^{-1}$
Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.
1. Вычисляем $18^{-1}$. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$18^{-1} = \frac{1}{18}$
2. Выполняем умножение:
$9 \cdot \frac{1}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
Ответ: $0,5$

б) $100 : (-5)^{-2}$
Сначала вычисляем значение степени, затем выполняем деление.
1. Возводим -5 в степень -2. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Так как показатель степени $(-2)$ четный, результат возведения $(-5)^2$ будет положительным:
$(-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25}$
2. Выполняем деление:
$100 : \frac{1}{25} = 100 \cdot 25 = 2500$
Ответ: $2500$

в) $0,64 \cdot 0,4^{-2}$
Сначала возведение в степень, затем умножение. Для удобства вычислений можно представить $0,64$ как степень числа, связанного с $0,4$.
1. Представим $0,64$ через $0,4$:
$0,64 = 0,8^2 = (2 \cdot 0,4)^2 = 2^2 \cdot 0,4^2 = 4 \cdot 0,4^2$
2. Подставим в исходное выражение и используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$4 \cdot 0,4^2 \cdot 0,4^{-2} = 4 \cdot 0,4^{2+(-2)} = 4 \cdot 0,4^0$
3. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$):
$4 \cdot 1 = 4$
Ответ: $4$

г) $-3^{-4} \cdot 27$
Порядок действий: возведение в степень, затем умножение. Обратите внимание, что в степень возводится только число 3, а не -3, так как скобки отсутствуют.
1. Вычисляем $3^{-4}$:
$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$
2. Выполняем умножение. Можно представить 27 как $3^3$:
$-3^{-4} \cdot 27 = -(3^{-4}) \cdot 3^3 = -3^{-4+3} = -3^{-1} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

д) $0,1 : (-0,5)^{-3}$
Сначала вычисляем степень, затем выполняем деление.
1. Вычисляем $(-0,5)^{-3}$. Удобнее работать с обыкновенными дробями: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
$(-0,5)^{-3} = (-\frac{1}{2})^{-3} = (-\frac{2}{1})^3 = (-2)^3 = -8$
2. Выполняем деление:
$0,1 : (-8) = \frac{1}{10} : (-8) = \frac{1}{10} \cdot (-\frac{1}{8}) = -\frac{1}{80} = -0,0125$
Ответ: $-0,0125$

е) $(-2)^{-5} : \frac{1}{8}$
Сначала вычисляем степень, затем деление.
1. Вычисляем $(-2)^{-5}$. Так как показатель степени нечетный, результат будет отрицательным:
$(-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} = -\frac{1}{32}$
2. Выполняем деление дробей (заменяем деление на умножение на обратную дробь):
$-\frac{1}{32} : \frac{1}{8} = -\frac{1}{32} \cdot \frac{8}{1} = -\frac{8}{32} = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-0,25$

ж) $(-0,75)^{-3} : \frac{4}{9}$
Сначала вычисляем степень, затем деление. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $-0,75 = -\frac{3}{4}$.
1. Вычисляем $(-\frac{3}{4})^{-3}$.
$(-\frac{3}{4})^{-3} = (-\frac{4}{3})^3 = -\frac{4^3}{3^3} = -\frac{64}{27}$
2. Выполняем деление:
$-\frac{64}{27} : \frac{4}{9} = -\frac{64}{27} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{64 \cdot 9}{27 \cdot 4} = -\frac{16 \cdot 1}{3 \cdot 1} = -\frac{16}{3}$
3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$-\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$
Ответ: -5$\frac{1}{3}$

з) $-0,2^{-4} \cdot 0,16$
Сначала возведение в степень, затем умножение. В степень возводится $0,2$, а не $-0,2$.
1. Вычисляем $0,2^{-4}$. Переведем в обыкновенную дробь: $0,2 = \frac{1}{5}$.
$0,2^{-4} = (\frac{1}{5})^{-4} = 5^4 = 625$
2. Выполняем умножение. Переведем $0,16$ в обыкновенную дробь: $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$.
$-0,2^{-4} \cdot 0,16 = -625 \cdot \frac{4}{25} = -\frac{625 \cdot 4}{25} = -25 \cdot 4 = -100$
Ответ: $-100$

и) $0,3 : (-0,1^4)$
Согласно порядку действий, сначала выполняются операции в скобках. Внутри скобок сначала возведение в степень, затем унарный минус. После этого выполняется деление.
1. Вычисляем значение в скобках. Сначала степень:
$0,1^4 = 0,0001$
2. Применяем знак минус. Выражение в скобках равно:
$(-0,1^4) = -(0,1^4) = -0,0001$
3. Выполняем деление:
$0,3 : (-0,0001) = \frac{0,3}{-0,0001} = -3000$
Ответ: $-3000$