Номер 10, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Вычислите, выбрав рациональный путь решения:

a) $\frac{15^4 \cdot 5^{-6}}{45^{-3} \cdot 3^9}$;

б) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 16^{-3}}$;

в) $\frac{14^5 \cdot 2^{-7}}{28^{-2} \cdot 7^8}$;

г) $\frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}}$.

а) Для решения примера $\frac{15^4 \cdot 5^{-6}}{45^{-3} \cdot 3^9}$ представим основания степеней в виде произведения простых множителей:

• $15 = 3 \cdot 5$
• $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$\frac{(3 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-6}}{(3^2 \cdot 5)^{-3} \cdot 3^9}$

Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{3^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-6}}{3^{2 \cdot (-3)} \cdot 5^{-3} \cdot 3^9} = \frac{3^4 \cdot 5^{4-6}}{3^{-6} \cdot 5^{-3} \cdot 3^9}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{3^4 \cdot 5^{-2}}{3^{-6+9} \cdot 5^{-3}} = \frac{3^4 \cdot 5^{-2}}{3^3 \cdot 5^{-3}}$

Теперь применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{4-3} \cdot 5^{-2 - (-3)} = 3^1 \cdot 5^{-2+3} = 3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15

б) Для решения примера $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 16^{-3}}$ представим основания степеней в виде простых множителей:

• $6 = 2 \cdot 3$
• $81 = 3^4$
• $16 = 2^4$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2 \cdot 3)^{-10}}{(3^4)^{-2} \cdot (2^4)^{-3}}$

Используем свойства степеней:

$\frac{2^{-10} \cdot 3^{-10}}{3^{4 \cdot (-2)} \cdot 2^{4 \cdot (-3)}} = \frac{2^{-10} \cdot 3^{-10}}{3^{-8} \cdot 2^{-12}}$

Применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

$2^{-10 - (-12)} \cdot 3^{-10 - (-8)} = 2^{-10+12} \cdot 3^{-10+8} = 2^2 \cdot 3^{-2}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^2 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

в) Для решения примера $\frac{14^5 \cdot 2^{-7}}{28^{-2} \cdot 7^8}$ представим основания 14 и 28 в виде простых множителей:

• $14 = 2 \cdot 7$
• $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2 \cdot 7)^5 \cdot 2^{-7}}{(2^2 \cdot 7)^{-2} \cdot 7^8}$

Раскроем скобки, используя свойства степеней:

$\frac{2^5 \cdot 7^5 \cdot 2^{-7}}{2^{2 \cdot (-2)} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8} = \frac{2^5 \cdot 7^5 \cdot 2^{-7}}{2^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^{5-7} \cdot 7^5}{2^{-4} \cdot 7^{-2+8}} = \frac{2^{-2} \cdot 7^5}{2^{-4} \cdot 7^6}$

Применим правило деления степеней:

$2^{-2 - (-4)} \cdot 7^{5-6} = 2^{-2+4} \cdot 7^{-1} = 2^2 \cdot 7^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$

Ответ: $\frac{4}{7}$

г) Для решения примера $\frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}}$ представим основания в виде простых множителей:

• $10 = 2 \cdot 5$
• $15 = 3 \cdot 5$
• $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2 \cdot 5)^{-2} \cdot (3 \cdot 5)^{-4}}{(2 \cdot 3 \cdot 5)^{-6}}$

Раскроем скобки:

$\frac{2^{-2} \cdot 5^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}}$

Сгруппируем степени в числителе:

$\frac{2^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-2-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}} = \frac{2^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-6}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}}$

Применим правило деления степеней для каждого основания:

$2^{-2 - (-6)} \cdot 3^{-4 - (-6)} \cdot 5^{-6 - (-6)} = 2^{-2+6} \cdot 3^{-4+6} \cdot 5^{-6+6} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^0$

Так как любое число в нулевой степени равно 1 ($5^0 = 1$):

$2^4 \cdot 3^2 \cdot 1 = 16 \cdot 9 = 144$

Ответ: 144