Номер 13, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. Докажите, что значение выражения не зависит от n:

а) $5^{2n+7} : 5^{2n-1}$;

б) $\frac{8^{2n+2}}{4^{3n+1}}$;

в) $\frac{21^{n+3}}{3^{n+1} \cdot 7^{n+2}}$.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной n, необходимо упростить каждое выражение, используя свойства степеней. Если в результате упрощения переменная n сократится, то утверждение будет доказано.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Используем свойство $a^m : a^k = a^{m-k}$:

$5^{2n+7} : 5^{2n-1} = 5^{(2n+7) - (2n-1)} = 5^{2n+7-2n+1} = 5^8$

Вычислим значение $5^8$:

$5^8 = 390625$

Результат является числом (константой) и не содержит переменную n. Следовательно, значение выражения не зависит от n.

Ответ: 390625

Приведем основания степеней 8 и 4 к общему основанию 2, так как $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$:

$\frac{8^{2n+2}}{4^{3n+1}} = \frac{(2^3)^{2n+2}}{(2^2)^{3n+1}}$

При возведении степени в степень показатели перемножаются. Используем свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:

$\frac{2^{3 \cdot (2n+2)}}{2^{2 \cdot (3n+1)}} = \frac{2^{6n+6}}{2^{6n+2}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Используем свойство $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$2^{(6n+6) - (6n+2)} = 2^{6n+6-6n-2} = 2^4 = 16$

Результат является числом и не зависит от n.

Ответ: 16

Представим основание 21 в числителе как произведение его простых множителей $3 \cdot 7$:

$\frac{(3 \cdot 7)^{n+3}}{3^{n+1} \cdot 7^{n+2}}$

При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень. Используем свойство $(a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k$:

$\frac{3^{n+3} \cdot 7^{n+3}}{3^{n+1} \cdot 7^{n+2}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним деление:

$(\frac{3^{n+3}}{3^{n+1}}) \cdot (\frac{7^{n+3}}{7^{n+2}}) = 3^{(n+3)-(n+1)} \cdot 7^{(n+3)-(n+2)} = 3^{n+3-n-1} \cdot 7^{n+3-n-2} = 3^2 \cdot 7^1$

Вычислим результат:

$9 \cdot 7 = 63$

Результат является числом и не зависит от n.

Ответ: 63