Номер 7, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Упростите выражение и найдите его значение:

a) $2b^2 \cdot \frac{1}{8}b^{-3}$ при $b = 32^{-1}$;

б) $27(c^{-2})^3 \cdot 81(c^{-3})^2$ при $c = 3$.

а) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2b^2 \cdot \frac{1}{8}b^{-3} = (2 \cdot \frac{1}{8}) \cdot (b^2 \cdot b^{-3}) = \frac{2}{8} \cdot b^{2+(-3)} = \frac{1}{4} \cdot b^{-1} = \frac{1}{4b}$

Теперь найдем значение $b$. По условию $b = 32^{-1}$.

$b = 32^{-1} = \frac{1}{32}$

Подставим найденное значение $b$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{4b} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{32}} = \frac{1}{\frac{4}{32}} = \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Чтобы разделить 1 на дробь, нужно умножить 1 на обратную дробь:

$1 \cdot \frac{8}{1} = 8$

Целое число 8 можно представить в виде неправильной дроби $\frac{8}{1}$. Его целая часть равна 8.

Ответ: 8

б) Сначала упростим данное выражение. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(c^{-2})^3 = c^{-2 \cdot 3} = c^{-6}$

$(c^{-3})^2 = c^{-3 \cdot 2} = c^{-6}$

Теперь выражение выглядит так:

$27c^{-6} \cdot 81c^{-6}$

Перегруппируем множители и используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для удобства вычислений представим 27 и 81 как степени числа 3 ($27 = 3^3$, $81 = 3^4$):

$(27 \cdot 81) \cdot (c^{-6} \cdot c^{-6}) = (3^3 \cdot 3^4) \cdot c^{-6+(-6)} = 3^{3+4} \cdot c^{-12} = 3^7c^{-12}$

Теперь подставим значение $c=3$ в упрощенное выражение:

$3^7 \cdot (3)^{-12} = 3^{7+(-12)} = 3^{-5}$

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, найдем значение выражения:

$3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$

Полученная дробь является правильной. Чтобы выделить целую часть, запишем ее в виде смешанного числа. Целая часть правильной дроби равна 0.

Ответ: 0$\frac{1}{243}$