Номер 14, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Представьте выражение в виде степени с основанием, равным натуральному числу:

а) $2^n \cdot 8;$

б) $7^{m+1} : 49;$

в) $(3^n + 6)^3 : 3^{2n}.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства степеней. Основная цель - привести все числа в выражении к одному основанию, которое является натуральным числом, а затем применить правила действий со степенями.

• Правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$
• Правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

а) $2^n \cdot 8$

1. Представим число 8 в виде степени с основанием 2. Поскольку $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, то выражение можно переписать так:

$2^n \cdot 8 = 2^n \cdot 2^3$

2. Теперь воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), сложив показатели степеней:

$2^n \cdot 2^3 = 2^{n+3}$

Ответ: $2^{n+3}$

б) $7^{m+1} : 49$

1. Представим число 49 в виде степени с основанием 7. Поскольку $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$, то выражение принимает вид:

$7^{m+1} : 49 = 7^{m+1} : 7^2$

2. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$), вычитая из показателя делимого показатель делителя:

$7^{m+1} : 7^2 = 7^{(m+1)-2} = 7^{m-1}$

Ответ: $7^{m-1}$

в) $(3^{n+6})^3 : 3^{2n}$

1. Сначала упростим первую часть выражения $(3^{n+6})^3$, используя правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$). Для этого умножим показатель степени $(n+6)$ на 3:

$(3^{n+6})^3 = 3^{(n+6) \cdot 3} = 3^{3n+18}$

2. Теперь исходное выражение выглядит так:

$3^{3n+18} : 3^{2n}$

3. Воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$3^{3n+18} : 3^{2n} = 3^{(3n+18)-2n} = 3^{n+18}$

Ответ: $3^{n+18}$