Номер 12, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Докажите, что значение выражения:

а) $10^{18} + 2$ делится на 3;

б) $10^{23} + 10^{15} + 7$ делится на 9.

Для доказательства данных утверждений воспользуемся признаками делимости. Число делится на 3 (или на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (или на 9). Доказать, что число делится нацело, — значит доказать, что остаток от деления равен 0. В этом случае, если рассматривать частное как дробь, то ее целая часть будет равна самому значению этой дроби.

а) Рассмотрим числовое значение выражения $10^{18} + 2$.
Число $10^{18}$ представляет собой запись, состоящую из цифры 1 и 18-ти следующих за ней нулей. Таким образом, число $10^{18} + 2$ имеет вид $1\underbrace{00...0}_{17 \text{ нулей}}2$.
Найдем сумму цифр этого числа:$S = 1 + 17 \cdot 0 + 2 = 3$.
Поскольку сумма цифр (3) делится на 3 ($3:3=1$), то и само число $10^{18} + 2$ делится на 3.
Ответ: Доказано. Остаток от деления равен 0, следовательно, частное является целым числом.

б) Рассмотрим числовое значение выражения $10^{23} + 10^{15} + 7$.
Представим слагаемые: $10^{23}$ — это 1 с 23 нулями, $10^{15}$ — это 1 с 15 нулями. Сумма $10^{23} + 10^{15} + 7$ будет выглядеть как число, в котором на 24-м месте стоит 1, на 16-м месте стоит 1, на 1-м месте (в разряде единиц) стоит 7, а остальные разряды заполнены нулями: $1\underbrace{0...0}_{7 \text{ нулей}}1\underbrace{0...0}_{14 \text{ нулей}}7$.
Найдем сумму цифр этого числа:$S = 1 + 1 + 7 = 9$.
Поскольку сумма цифр (9) делится на 9 ($9:9=1$), то и само число $10^{23} + 10^{15} + 7$ делится на 9.
Ответ: Доказано. Остаток от деления равен 0, следовательно, частное является целым числом.