Номер 8, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Используя свойства степени с целым показателем, найдите значение выражения:

а) $ \left(\frac{2}{7}\right)^5 \cdot 7^5; $

б) $ \frac{7^2}{28^2}; $

в) $ 5^{-4} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{-2}; $

г) $ \frac{10^{-4}}{5^{-4}}; $

д) $ 1,2^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4; $

е) $ 3^{-5} : 1,5^{-5}. $

а) Используем свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Это позволяет перемножить основания, оставив показатель прежним.

$(\frac{2}{7})^5 \cdot 7^5 = (\frac{2}{7} \cdot 7)^5 = 2^5 = 32$

Ответ: 32

б) Используем свойство частного степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$. Это позволяет разделить основания, оставив показатель прежним.

$\frac{7^2}{28^2} = (\frac{7}{28})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

в) Используем свойства степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, а также свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$5^{-4} \cdot (\frac{2}{5})^{-2} = \frac{1}{5^4} \cdot (\frac{5}{2})^2 = \frac{1}{5^4} \cdot \frac{5^2}{2^2} = \frac{5^2}{5^4 \cdot 4} = \frac{1}{5^{4-2} \cdot 4} = \frac{1}{5^2 \cdot 4} = \frac{1}{25 \cdot 4} = \frac{1}{100}$

Ответ: $\frac{1}{100}$

г) Используем свойство частного степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$ и свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$\frac{10^{-4}}{5^{-4}} = (\frac{10}{5})^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

д) Сначала преобразуем десятичную дробь $1,2$ в обыкновенную: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$. Затем используем свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$1,2^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 = (\frac{6}{5})^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 = (\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6})^4 = (\frac{1}{5})^4 = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}$

Ответ: $\frac{1}{625}$

е) Сначала преобразуем десятичную дробь $1,5$ в обыкновенную: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Затем используем свойство частного степеней с одинаковым показателем $a^n : b^n = (a : b)^n$.

$3^{-5} : 1,5^{-5} = 3^{-5} : (\frac{3}{2})^{-5} = (3 : \frac{3}{2})^{-5} = (3 \cdot \frac{2}{3})^{-5} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$