Номер 5, страница 198 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

5. $R = 36$, $r = 25$. Найдите:

а) $O_1O_2$

б) $O_1K$

в) $S_{AO_1O_2B}$

а) $O_1O_2$

Две окружности касаются внешним образом. Расстояние между центрами двух окружностей, касающихся внешним образом, равно сумме их радиусов.
Радиус большей окружности $R = O_1A = 36$.
Радиус меньшей окружности $r = O_2B = 25$.
Следовательно, расстояние между центрами $O_1O_2$ равно:
$O_1O_2 = R + r = 36 + 25 = 61$.
Ответ: 61.

б) $O_1K$

Рассмотрим конструкцию, показанную на рисунке б). Из центра меньшей окружности $O_2$ опущен перпендикуляр $O_2K$ на радиус большей окружности $O_1A$.
Поскольку радиусы $O_1A$ и $O_2B$ перпендикулярны общей касательной прямой $AB$, а $O_2K$ параллельна $AB$, то четырехугольник $ABO_2K$ является прямоугольником.
Из этого следует, что $AK = O_2B = r = 25$.
Отрезок $O_1A$ является радиусом большей окружности, $O_1A = R = 36$.
Точка $K$ лежит на отрезке $O_1A$, поэтому длина отрезка $O_1K$ равна разности длин отрезков $O_1A$ и $AK$:
$O_1K = O_1A - AK = R - r = 36 - 25 = 11$.
Ответ: 11.

в) $S_{AO_1O_2B}$

Фигура $AO_1O_2B$ является прямоугольной трапецией, так как ее основания $O_1A$ и $O_2B$ перпендикулярны боковой стороне $AB$.
Длины оснований трапеции равны радиусам окружностей: $O_1A = 36$ и $O_2B = 25$.
Высотой трапеции является отрезок $AB$. Длину высоты можно найти из прямоугольного треугольника $O_1KO_2$.
В треугольнике $O_1KO_2$:
- гипотенуза $O_1O_2 = 61$ (найдено в пункте а).
- катет $O_1K = 11$ (найдено в пункте б).
- второй катет $O_2K$ равен высоте трапеции $AB$, так как $ABO_2K$ — прямоугольник.
По теореме Пифагора: $(O_1O_2)^2 = (O_1K)^2 + (O_2K)^2$.
$(O_2K)^2 = (O_1O_2)^2 - (O_1K)^2 = 61^2 - 11^2 = 3721 - 121 = 3600$.
$O_2K = \sqrt{3600} = 60$.
Следовательно, высота трапеции $AB = O_2K = 60$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.
$S_{AO_1O_2B} = \frac{O_1A + O_2B}{2} \cdot AB = \frac{36 + 25}{2} \cdot 60 = \frac{61}{2} \cdot 60 = 61 \cdot 30 = 1830$.
Ответ: 1830.