Тест 3, страница 197 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 3

$AC$ — касательная. Найдите радиус $OC$.

$AD = 9$

$AC = 15$

$OC = ?$

Найдите радиус OC.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, а затем теоремой Пифагора.

1. Теорема о касательной и секущей. Квадрат длины отрезка касательной, проведенной из одной точки, равен произведению длины всей секущей, проведенной из той же точки, на ее внешнюю часть. В нашем случае точка — A, касательная — AC, секущая — AB, ее внешняя часть — AD.

Формула выглядит так: $AC^2 = AD \cdot AB$.

Подставим известные значения: $AC = 15$ и $AD = 9$.

$15^2 = 9 \cdot AB$

$225 = 9 \cdot AB$

Теперь найдем длину всей секущей AB:

$AB = \frac{225}{9} = 25$

2. Теорема Пифагора. Радиус OC, проведенный в точку касания C, перпендикулярен касательной AC. Это значит, что угол $\angle ACB = 90^\circ$, и треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ гипотенузой является сторона AB, а катетами — AC и BC. По теореме Пифагора:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

Подставим известные значения $AC = 15$ и $AB = 25$:

$15^2 + BC^2 = 25^2$

$225 + BC^2 = 625$

$BC^2 = 625 - 225$

$BC^2 = 400$

$BC = \sqrt{400} = 20$

3. Нахождение радиуса. Отрезок BC является диаметром окружности. Радиус OC равен половине диаметра.

$OC = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Ответ: 10