Номер 2, страница 194 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

2. Построить треугольник по основанию $a$, углу при вершине $\alpha$ и медиане, проведенной к стороне $a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Нам даны длина основания $BC = a$, угол при вершине $∠BAC = α$ и медиана $AM = m_a$, где $M$ — середина стороны $BC$.

Вершина $A$ искомого треугольника должна удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от точки $A$ до точки $M$ (середины $BC$) должно быть равно $m_a$. Геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих этому условию, есть окружность с центром в $M$ и радиусом $m_a$.
2. Угол $∠BAC$ должен быть равен $α$. ГМТ, из которых отрезок $BC$ виден под углом $α$, есть дуга окружности, проходящая через точки $B$ и $C$.

Следовательно, вершина $A$ является точкой пересечения этих двух ГМТ.

Построение

1. Построить отрезок $BC$ длиной, равной $a$.
2. Найти середину $M$ отрезка $BC$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра $p$).
3. Построить окружность $k_1$ с центром в точке $M$ и радиусом, равным $m_a$.
4. Построить дугу $k_2$, которая является ГМТ, из которых отрезок $BC$ виден под углом $α$. Для этого:
   • От луча $BC$ в одной из полуплоскостей отложить угол $∠CBK = α$.
   • Через точку $B$ провести прямую $l$, перпендикулярную прямой $BK$.
   • Найти точку $O$ — пересечение прямой $l$ и серединного перпендикуляра $p$.
   • Построить дугу окружности $k_2$ с центром $O$ и радиусом $OB = OC$. Дуга, расположенная в полуплоскости, противоположной той, где лежит луч $BK$, является искомым ГМТ.
5. Найти точку (или точки) пересечения окружности $k_1$ и дуги $k_2$. Обозначить любую из этих точек как $A$.
6. Соединить точку $A$ с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Покажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $BC$ по построению равна $a$.
• Точка $A$ лежит на окружности $k_1$ с центром в середине $M$ стороны $BC$ и радиусом $m_a$. Следовательно, отрезок $AM$ является медианой, и его длина равна $m_a$.
• По построению, прямая $BK$ перпендикулярна радиусу $OB$ в точке $B$, следовательно, $BK$ — касательная к окружности с центром $O$. Угол $∠CBK$ между касательной $BK$ и хордой $BC$ был построен равным $α$. По теореме об угле между касательной и хордой, любой вписанный угол, опирающийся на дугу $BC$ с противоположной стороны, равен углу $∠CBK$. Так как точка $A$ лежит на этой дуге, то $∠BAC = α$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем заданным условиям.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность $k_1$ (ГМТ для медианы) и дуга $k_2$ (ГМТ для угла) пересекаются. Пусть $h_{iso} = \frac{a}{2} \cot(\frac{α}{2})$ — это длина медианы (и высоты) в равнобедренном треугольнике с основанием $a$ и углом при вершине $α$. Эта медиана соответствует расстоянию от точки $M$ до вершины дуги $k_2$. Расстояние от $M$ до концов дуги ($B$ и $C$) равно $\frac{a}{2}$.

Возможны следующие случаи:

1. Если $α < 90°$, то $\cot(\frac{α}{2}) > 1$, значит $h_{iso} > \frac{a}{2}$. Вершина дуги — самая удаленная от $M$ точка. Решение существует, если радиус $m_a$ находится между минимальным ($\frac{a}{2}$) и максимальным ($h_{iso}$) расстояниями. Для невырожденного треугольника:
   $ \frac{a}{2} < m_a \le \frac{a}{2} \cot(\frac{α}{2}) $
   • Если $m_a = \frac{a}{2} \cot(\frac{α}{2})$, решение единственно (равнобедренный треугольник).
   • Если $\frac{a}{2} < m_a < \frac{a}{2} \cot(\frac{α}{2})$, существует два симметричных решения, которые представляют собой один треугольник с точностью до конгруэнтности.
2. Если $α > 90°$, то $\cot(\frac{α}{2}) < 1$, значит $h_{iso} < \frac{a}{2}$. Вершина дуги — самая близкая к $M$ точка. Решение существует при:
   $ \frac{a}{2} \cot(\frac{α}{2}) \le m_a < \frac{a}{2} $
   • Если $m_a = \frac{a}{2} \cot(\frac{α}{2})$, решение единственно (равнобедренный треугольник).
   • Если $\frac{a}{2} \cot(\frac{α}{2}) < m_a < \frac{a}{2}$, существует одно уникальное решение с точностью до конгруэнтности.
3. Если $α = 90°$, то дуга $k_2$ является полуокружностью с центром в $M$ и радиусом $\frac{a}{2}$. Окружность $k_1$ также имеет центр $M$. Решение существует, только если их радиусы совпадают, то есть $m_a = \frac{a}{2}$. В этом случае любая точка полуокружности является решением, т.е. задача имеет бесконечное множество решений.

В остальных случаях задача решения не имеет.

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан выше в разделе "Построение". Задача имеет решение только при выполнении определенных условий. Если $α < 90°$, то решение существует при $\frac{a}{2} < m_a \le \frac{a}{2}\cot(\frac{α}{2})$. Если $α > 90°$, решение существует при $\frac{a}{2}\cot(\frac{α}{2}) \le m_a < \frac{a}{2}$. Если $α=90°$, решение существует только при $m_a = \frac{a}{2}$, и в этом случае оно не единственно. В граничных случаях (когда $m_a$ равно одному из концов диапазона) решение единственно (треугольник равнобедренный), в остальных случаях (строгое неравенство) решение уникально с точностью до конгруэнтности (т.е. существует пара симметричных, но конгруэнтных треугольников).