Номер 417, страница 191 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

417. Точка $O$ — центр окружности, $KB = 7$ см, $AK = 12$ см, $CD = 20$ см (рис. 393). Найдите длину отрезка $KD$.

Рис. 393

Для решения задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Теорема о пересекающихся хордах гласит, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

В данной задаче хорды AB и CD пересекаются в точке K. Следовательно, мы можем записать равенство:

$AK \cdot KB = CK \cdot KD$

Из условия задачи нам известны длины отрезков хорды AB: $AK = 12$ см и $KB = 7$ см. Вычислим их произведение:

$AK \cdot KB = 12 \cdot 7 = 84$

Также нам известна общая длина хорды CD: $CD = 20$ см. Эта хорда состоит из двух отрезков, CK и KD, то есть $CD = CK + KD$.

Пусть искомая длина отрезка $KD = x$. Тогда длина отрезка CK будет равна $CK = CD - KD = 20 - x$.

Теперь подставим все известные значения и выражения в исходную формулу:

$84 = (20 - x) \cdot x$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки и приведем его к стандартному виду:

$84 = 20x - x^2$

$x^2 - 20x + 84 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна 20, а их произведение равно 84. Методом подбора находим корни:

$x_1 = 6$ и $x_2 = 14$

Таким образом, отрезки, на которые точка K делит хорду CD, равны 6 см и 14 см. Чтобы определить, какой из них является отрезком KD, обратимся к рисунку и условию, что O — центр окружности.

Поскольку хорда CD проходит через центр O, она является диаметром окружности. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:

$R = OD = OC = \frac{CD}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

На рисунке 393 видно, что точка K расположена между центром O и точкой D. Это означает, что длина отрезка KD должна быть меньше длины радиуса OD.

$KD < OD$

$KD < 10$ см

Из двух найденных корней, 6 и 14, только один удовлетворяет этому условию: $x = 6$. Следовательно, длина отрезка KD равна 6 см. Длина отрезка CK при этом будет $20 - 6 = 14$ см, что также соответствует рисунку ($CK > R$).

Ответ: 6 см.