Номер 412, страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

412. Из точки A проведены касательная AB, где B — точка касания, и секущая AC, проходящая через центр O данной окружности (рис. 383). Луч AN — биссектриса угла BAC. Докажите, что:

а) $\frown{MK} + \frown{BN} = \frown{KB} + \frown{NC}$;

б) $\angle ADB = 45^\circ$.

Рис. 383

а)

По теореме об угле между касательной и секущей, проведенными из одной точки, угол $∠BAN$, образованный касательной $AB$ и секущей $AN$, равен половине разности мер дуг, высекаемых на окружности сторонами этого угла. Такими дугами являются дуга $BN$ и дуга $BK$. Таким образом, $$∠BAN = \frac{1}{2}(◡BN - ◡BK)$$

По теореме об угле между двумя секущими, проведенными из одной точки, угол $∠NAC$, образованный секущими $AC$ и $AN$, равен половине разности мер дуг, высекаемых на окружности сторонами этого угла. Такими дугами являются дуга $NC$ и дуга $MK$. Таким образом, $$∠NAC = \frac{1}{2}(◡NC - ◡MK)$$

По условию задачи, луч $AN$ является биссектрисой угла $∠BAC$. Это означает, что $∠BAN = ∠NAC$.

Приравнивая правые части полученных выражений для углов, получаем: $$\frac{1}{2}(◡BN - ◡BK) = \frac{1}{2}(◡NC - ◡MK)$$

Умножая обе части равенства на 2, имеем: $$◡BN - ◡BK = ◡NC - ◡MK$$

Перенося члены, получаем требуемое равенство: $$◡MK + ◡BN = ◡KB + ◡NC$$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $◡MK + ◡BN = ◡KB + ◡NC$ доказано.

б)

В соответствии с рисунком, точка $D$ является точкой пересечения отрезков $AN$ и $BC$.

Рассмотрим треугольник $ΔABO$. Так как $AB$ — касательная к окружности в точке $B$, а $OB$ — радиус, проведенный в точку касания, то $OB \perp AB$. Следовательно, $ΔABO$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $∠ABO = 90°$.

Пусть $∠BAN = \alpha$. Поскольку $AN$ — биссектриса угла $∠BAC$, то $∠NAC = \alpha$, и, следовательно, $∠BAC = 2\alpha$. Угол $∠BAC$ — это тот же угол, что и $∠BAO$, так как точки $A, O, C$ лежат на одной прямой. Итак, $∠BAO = 2\alpha$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $ΔABO$ равна $90°$. Поэтому: $$∠AOB = 90° - ∠BAO = 90° - 2\alpha$$

Секущая $AC$ проходит через центр $O$, значит $MC$ — диаметр окружности. Углы $∠AOB$ (он же $∠MOB$) и $∠BOC$ являются смежными, и их сумма равна $180°$. $$∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - (90° - 2\alpha) = 90° + 2\alpha$$

Рассмотрим треугольник $ΔOBC$. Так как $OB$ и $OC$ — радиусы окружности, то $OB = OC$, и $ΔOBC$ является равнобедренным. Углы при основании $BC$ равны: $$∠OBC = ∠OCB = \frac{180° - ∠BOC}{2} = \frac{180° - (90° + 2\alpha)}{2} = \frac{90° - 2\alpha}{2} = 45° - \alpha$$

Теперь рассмотрим треугольник $ΔABC$. Найдем его угол $∠ABC$: $$∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 2\alpha - (45° - \alpha) = 180° - 2\alpha - 45° + \alpha = 135° - \alpha$$

Наконец, рассмотрим треугольник $ΔABD$. Его углы:

• $∠DAB = ∠NAB = \alpha$ (по определению точки D).
• $∠ABD = ∠ABC = 135° - \alpha$ (по определению точки D).

Сумма углов в треугольнике $ΔABD$ равна $180°$. Найдем угол $∠ADB$: $$∠ADB = 180° - ∠DAB - ∠ABD = 180° - \alpha - (135° - \alpha) = 180° - \alpha - 135° + \alpha = 45°$$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠ADB = 45°$ доказано.