Номер 406, страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

406. Вершины четырехугольника $ABCD$ лежат на окружности, диагонали пересекаются в точке $M$, $\angle BAC = 36^\circ$, $\angle CAD + \angle ADC = 138^\circ$. Найдите $\angle BMC$.

Поскольку вершины четырехугольника $ABCD$ лежат на окружности, этот четырехугольник является вписанным.

Рассмотрим угол $\angle BMC$. Он является внешним углом для треугольника $AMB$, а также для треугольника $DMC$. Также он является внутренним углом треугольника $BMC$. Углы $\angle BMC$ и $\angle AMD$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle BMC = \angle AMD$. Найдем угол $\angle AMD$.

Рассмотрим треугольник $AMD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle AMD = 180^\circ - (\angle MAD + \angle MDA) = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ADB)$.

Нам нужно найти сумму углов $\angle CAD + \angle ADB$.

1. Углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, они равны.
$\angle BDC = \angle BAC = 36^\circ$.

2. По условию задачи дано, что $\angle CAD + \angle ADC = 138^\circ$.
Угол $\angle ADC$ состоит из двух углов: $\angle ADB$ и $\angle BDC$.
$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$.

3. Подставим известные значения в равенство из условия:
$\angle CAD + (\angle ADB + \angle BDC) = 138^\circ$
$\angle CAD + \angle ADB + 36^\circ = 138^\circ$
$\angle CAD + \angle ADB = 138^\circ - 36^\circ$
$\angle CAD + \angle ADB = 102^\circ$.

4. Теперь мы можем найти угол $\angle AMD$, используя сумму углов в треугольнике $AMD$:
$\angle AMD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ADB)$
$\angle AMD = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

5. Так как углы $\angle BMC$ и $\angle AMD$ вертикальные, то:
$\angle BMC = \angle AMD = 78^\circ$.

Ответ: $78^\circ$.