Номер 401, страница 187 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

401. По данным на рисунках 375, а)—в) найдите градусную меру угла или дуги, которые обозначены знаком вопроса.

а) $46^\circ$

$94^\circ$

$?$

б) $60^\circ$

$40^\circ$

$?$

в) $30^\circ$

$50^\circ$

$?$

Рис. 375

а)

Угол между двумя пересекающимися хордами в окружности равен полусумме градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. В данном случае, хорды AC и BD пересекаются в точке K. Искомый угол $∠AKD$ и вертикальный ему угол $∠BKC$ опираются на дуги AD и BC. По условию, градусная мера дуги AD (◡AD) равна $94°$, а дуги BC (◡BC) — $46°$. Вычисляем величину угла $∠AKD$ по формуле:
$∠AKD = \frac{◡AD + ◡BC}{2} = \frac{94° + 46°}{2} = \frac{140°}{2} = 70°$.

Ответ: 70°

б)

Аналогично пункту а), используем теорему об угле между пересекающимися хордами. На рисунке хорды AD и BC пересекаются в точке K. Искомый угол $∠AKC$ и вертикальный ему угол $∠BKD$ опираются на дуги AC и BD. По условию, градусная мера дуги AC (◡AC) равна $60°$, а дуги BD (◡BD) — $40°$. Вычисляем величину угла $∠AKC$:
$∠AKC = \frac{◡AC + ◡BD}{2} = \frac{60° + 40°}{2} = \frac{100°}{2} = 50°$.

Ответ: 50°

в)

В этой задаче известны угол между хордами AC и BD, $∠AKC = 50°$, и градусная мера одной из дуг, ◡AC = $30°$. Необходимо найти градусную меру дуги BD. Используем ту же формулу, что и в предыдущих пунктах, и выразим из нее неизвестную величину.
$∠AKC = \frac{◡AC + ◡BD}{2}$.
Подставим известные значения:
$50° = \frac{30° + ◡BD}{2}$.
Умножим обе части уравнения на 2:
$100° = 30° + ◡BD$.
Найдем градусную меру дуги BD:
$◡BD = 100° - 30° = 70°$.

Ответ: 70°